Calculateur d'Approximation Normale

Approximer les probabilités binomiales en utilisant la distribution normale.

Entrez le nombre d'essais, la probabilité de succès et le nombre de succès pour calculer la probabilité binomiale en utilisant l'approximation normale. Cet outil est idéal pour les grands échantillons où le calcul binomial direct est fastidieux.

Exemples

Voyez comment utiliser le calculateur avec des scénarios du monde réel.

Lancers de Pièce Équitable

Lancers de Pièce

Calculez la probabilité d'obtenir exactement 55 faces en lançant une pièce équitable 100 fois.

n: 100, p: 0.5

x: 55

type: P(X = x)

Produits Défectueux

Contrôle Qualité

Une usine produit des ampoules avec un taux de défaut de 3%. Dans un lot de 500, quelle est la probabilité que 20 ampoules ou moins soient défectueuses ?

n: 500, p: 0.03

x: 20

type: P(X ≤ x)

Soutien des Électeurs

Sondages Électoraux

Lors d'une élection, un candidat a 52% de soutien. Quelle est la probabilité que dans un sondage de 1000 électeurs, plus de 540 soutiennent le candidat ?

n: 1000, p: 0.52

x: 540

type: P(X > x)

Réussir un Test

Scores de Test

Sur un test à choix multiples de 120 questions (4 options par question), un étudiant devine à chaque question. Quelle est la probabilité d'obtenir entre 25 et 35 bonnes réponses ?

n: 120, p: 0.25

x: 25, x₂: 35

type: P(x ≤ X ≤ x₂)

Autres titres
Comprendre le Calculateur d'Approximation Normale : Un Guide Complet
Apprenez la théorie et l'application de l'approximation des probabilités binomiales avec la distribution normale.

Qu'est-ce que l'Approximation Normale de la Distribution Binomiale ?

  • Bridger les Mondes Discrets et Continus
  • Le Principe Fondamental
  • Quand l'Approximation est-elle Appropriée ?
L'approximation normale de la distribution binomiale est une méthode statistique utilisée pour simplifier le calcul des probabilités pour un grand nombre d'essais. La distribution binomiale est discrète, ce qui signifie qu'elle traite d'un nombre dénombrable de résultats (par exemple, 5 faces sur 10 lancers de pièce). En revanche, la distribution normale est continue. Lorsque le nombre d'essais 'n' est grand, calculer les probabilités binomiales directement peut être intensif en calcul. La distribution normale fournit une excellente et beaucoup plus simple façon d'estimer ces probabilités.
Le Principe Fondamental
L'idée fondamentale est que lorsque le nombre d'essais (n) dans une expérience binomiale augmente, la forme de la distribution binomiale commence à ressembler à la courbe en cloche d'une distribution normale. Cela nous permet d'utiliser les propriétés de la distribution normale (comme la moyenne, l'écart-type et les scores Z) pour trouver des probabilités approximatives pour les événements binomiaux.
Quand l'Approximation est-elle Appropriée ?
Cette approximation n'est pas toujours valide. Une règle empirique courante est que l'approximation est raisonnablement précise si 'np' et 'n(1-p)' sont tous deux supérieurs ou égaux à 5 (certains statisticiens préfèrent 10 pour une précision plus élevée). Ici 'n' est le nombre d'essais et 'p' est la probabilité de succès. Si cette condition n'est pas remplie, la distribution binomiale peut être trop asymétrique, et l'approximation normale ne sera pas précise.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Saisir Vos Données
  • Choisir le Bon Type de Probabilité
  • Interpréter les Résultats
Notre calculateur simplifie le processus en quelques étapes faciles.
Saisir Vos Données
  1. Nombre d'Essais (n) : Entrez le nombre total de fois que l'expérience est menée.
  2. Probabilité de Succès (p) : Entrez la probabilité d'un seul 'succès' sous forme décimale.
  3. Nombre de Succès (x) : Entrez le nombre de succès qui vous intéressent.
Choisir le Bon Type de Probabilité
Utilisez le menu déroulant pour sélectionner la probabilité que vous souhaitez trouver : inférieur à (<), inférieur ou égal à (≤), exactement égal à (=), supérieur à (>), supérieur ou égal à (≥), ou entre deux valeurs.
Interpréter les Résultats
Le calculateur fournit la probabilité estimée, ainsi que la moyenne (μ), l'écart-type (σ) et le score Z. Il vous indique également si l'approximation est considérée comme valide selon la règle np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5.

Idées Fausses Communes et le Facteur de Correction de Continuité

  • Valeurs Discrètes vs Continues
  • Pourquoi la Correction est-elle Nécessaire ?
  • Comment la Correction est Appliquée
Une source clé d'erreur dans l'approximation normale est d'oublier le facteur de correction de continuité.
Valeurs Discrètes vs Continues
Une variable binomiale ne peut être qu'un entier (vous ne pouvez pas avoir 2,5 faces), mais une variable normale peut être n'importe quel nombre réel. Lorsque nous superposons une courbe continue sur un histogramme discret, nous créons de petits écarts. Par exemple, la probabilité binomiale P(X=10) est représentée par une barre centrée à 10. Pour capturer cette zone avec une courbe continue, nous devons mesurer la zone de 9,5 à 10,5.
Pourquoi la Correction est-elle Nécessaire ?
Le facteur de correction de continuité de 0,5 est ajouté ou soustrait de la valeur 'x' pour mieux inclure ou exclure la zone de la valeur entière discrète. Il comble l'écart entre le calcul binomial discret et l'estimation normale continue, conduisant à un résultat plus précis.
Comment la Correction est Appliquée
  • Pour P(X ≤ k), nous utilisons k + 0,5.
  • Pour P(X < k), nous utilisons k - 0,5.
  • Pour P(X ≥ k), nous utilisons k - 0,5.
  • Pour P(X > k), nous utilisons k + 0,5.
  • Pour P(X = k), nous calculons la probabilité entre k - 0,5 et k + 0,5.

Applications Réelles de l'Approximation Normale

  • Fabrication et Contrôle Qualité
  • Recherche Médicale et Biologique
  • Sciences Sociales et Sondages
Fabrication et Contrôle Qualité
Une entreprise produit des milliers de widgets quotidiennement et connaît le taux de défaut historique. Ils peuvent utiliser l'approximation normale pour estimer rapidement la probabilité d'avoir plus qu'un certain nombre de défauts dans un grand lot, les aidant à décider si le lot nécessite une inspection supplémentaire.
Recherche Médicale et Biologique
Les chercheurs testant un nouveau médicament sur une grande population peuvent estimer la probabilité que le nombre de patients montrant des effets positifs tombe dans une certaine plage, aidant à déterminer l'efficacité du médicament par rapport à un placebo.
Sciences Sociales et Sondages
Les sondeurs politiques interrogent un grand nombre d'électeurs pour évaluer le soutien à un candidat. L'approximation normale les aide à déterminer la probabilité que le vrai soutien de la population soit dans une certaine marge de leurs résultats de sondage, fournissant une mesure de la précision du sondage.

Dérivation Mathématique et Formules

  • Calculer la Moyenne et l'Écart-Type
  • La Transformation du Score Z
  • Trouver la Probabilité à partir d'un Score Z
La magie de l'approximation réside dans ces formules clés.
Calculer la Moyenne et l'Écart-Type

Pour une distribution binomiale, la moyenne et l'écart-type, qui seront utilisés comme paramètres pour notre distribution normale approximative, sont calculés comme :

  • Moyenne (μ) = n * p
  • Écart-Type (σ) = √[n p (1 - p)]
La Transformation du Score Z

Le score Z standardise notre résultat, nous disant combien d'écarts-types notre valeur (avec correction de continuité) est de la moyenne. La formule est : Z = (x' - μ) / σ où x' est la valeur de x après application de la correction de continuité.

Trouver la Probabilité à partir d'un Score Z
Une fois le score Z calculé, il est utilisé avec une table de distribution normale standard (ou une fonction de calcul) pour trouver la probabilité cumulative. Par exemple, pour P(X ≤ k), nous trouvons la probabilité cumulative jusqu'au score Z calculé. Pour P(X > k), nous calculons 1 moins la probabilité cumulative.

Exemple de Calcul

  • Trouvons P(X > 22) pour une distribution binomiale avec n=100 et p=0,2.
  • 1. Vérifier la validité : np = 20, n(1-p) = 80. Les deux sont ≥ 5. Valide.
  • 2. Calculer μ et σ : μ = 20, σ = √(100 * 0,2 * 0,8) = √16 = 4.
  • 3. Appliquer la correction de continuité pour P(X > 22) -> P(X ≥ 23), donc nous utilisons x' = 22,5.
  • 4. Calculer le score Z : Z = (22,5 - 20) / 4 = 2,5 / 4 = 0,625.
  • 5. Trouver la probabilité : P(Z > 0,625) ≈ 1 - 0,734 = 0,266 ou 26,6%.