Calculateur de Distribution Bêta

Distributions et Modèles Statistiques

Saisissez les paramètres de forme (α et β) pour calculer les propriétés de la distribution Bêta.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour charger ses données dans le calculateur.

Distribution Asymétrique à Droite

unimodal

Un scénario courant dans l'analyse bayésienne où les succès (α) sont moins nombreux que les échecs (β), poussant le pic vers 0.

α: 2, β: 5, x: 0.25

Distribution Asymétrique à Gauche

unimodal

Représente un scénario où les succès (α) sont plus fréquents que les échecs (β), tirant le pic de la distribution vers 1.

α: 5, β: 2, x: 0.75

Distribution Parabolique Symétrique

symmetric

Quand α et β sont égaux et supérieurs à 1, la distribution est symétrique et en forme de cloche, centrée à 0.5.

α: 2, β: 2, x: 0.5

Distribution en Forme de U

bimodal

Quand α et β sont inférieurs à 1, la distribution est en forme de U, indiquant que les résultats sont plus susceptibles d'être près de 0 ou 1.

α: 0.5, β: 0.5, x: 0.5

Autres titres
Comprendre la Distribution Bêta : Un Guide Complet
Explorez la théorie, l'application et les mathématiques derrière la distribution Bêta, un outil polyvalent pour la modélisation des probabilités.

Qu'est-ce que la Distribution Bêta ?

  • Concepts Fondamentaux
  • Paramètres Clés
  • Formes Polyvalentes
La distribution Bêta est une distribution de probabilité continue définie sur l'intervalle [0, 1]. Elle est paramétrée par deux paramètres de forme positifs, notés alpha (α) et bêta (β). Son utilisation principale est de modéliser l'incertitude sur une probabilité. Par exemple, elle peut représenter la probabilité de succès dans une expérience, comme le taux de clics d'une publicité ou le taux de conversion d'un site web.
Le Rôle d'Alpha (α) et Bêta (β)
Les paramètres α et β sont les paramètres de 'forme' qui définissent la forme de la distribution. Intuitivement, ils peuvent être considérés comme des comptages de 'succès' (α) et d''échecs' (β). Si α est supérieur à β, la masse de la distribution est concentrée vers 1 (probabilité élevée de succès). Inversement, si β est supérieur à α, la masse est concentrée vers 0 (probabilité faible de succès). Quand α et β sont égaux, la distribution est symétrique autour de 0.5.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Distribution Bêta

  • Saisir les Paramètres
  • Interpréter les Résultats
  • Utiliser les Exemples
Ce calculateur simplifie le processus de travail avec la distribution Bêta. Suivez ces étapes :
• Saisissez la valeur Alpha (α) : Ce doit être un nombre positif représentant le nombre de succès ou la preuve d'une probabilité plus élevée.
• Saisissez la valeur Bêta (β) : Ce doit être un nombre positif représentant le nombre d'échecs ou la preuve d'une probabilité plus faible.
• Saisissez la Valeur x (optionnel) : Fournissez une valeur entre 0 et 1 pour calculer la Fonction de Densité de Probabilité (PDF) et la Fonction de Répartition (CDF) à ce point spécifique.
• Cliquez sur 'Calculer' : L'outil calculera la moyenne, la variance, l'écart-type, le mode, la PDF et la CDF.
Comprendre les Sorties
Les résultats donnent une image complète de la distribution. La moyenne donne la probabilité moyenne attendue, tandis que la variance montre sa dispersion. La PDF vous indique la probabilité d'une probabilité spécifique 'x', et la CDF vous indique la probabilité totale d'obtenir une valeur jusqu'à 'x'.

Applications Réelles de la Distribution Bêta

  • Inférence Bayésienne
  • Gestion de Projet
  • Test A/B
Inférence Bayésienne et Distributions A Priori
La distribution Bêta est célèbre pour son utilisation dans les statistiques bayésiennes comme distribution a priori conjuguée pour la distribution binomiale. Cela signifie que si vous avez une croyance a priori sur une probabilité (modélisée comme une distribution Bêta) et que vous observez de nouvelles données (d'une expérience binomiale), votre croyance mise à jour (la postérieure) est aussi une distribution Bêta. Cela rend la mise à jour des croyances mathématiquement pratique.
Modélisation de la Durée des Tâches dans PERT
Dans la gestion de projet, la technique PERT (Program Evaluation and Review Technique) utilise la distribution Bêta pour modéliser le temps qu'une tâche pourrait prendre. En estimant les temps d'achèvement optimistes, pessimistes et les plus probables, une distribution Bêta peut être ajustée pour estimer le temps attendu et le risque.
Analyse de Test A/B
En marketing et développement de produits, les tests A/B sont utilisés pour comparer deux versions d'une page web ou d'une application. Le taux de conversion pour chaque version peut être modélisé comme une distribution Bêta. En comparant les deux distributions, on peut déterminer la probabilité que la version A soit meilleure que la version B.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Confondre avec la Distribution Normale
  • Interpréter le Mode
  • Choisir les A Priori
Une erreur courante est de supposer que toutes les distributions de probabilité sont en forme de cloche comme la distribution normale. La distribution Bêta est très flexible et peut être en forme de U, de J ou uniforme, pas seulement en forme de cloche.
Quand le Mode est-il Significatif ?
La formule pour le mode, (α - 1) / (α + β - 2), n'est valide que lorsque α et β sont tous deux supérieurs à 1. Si l'un est inférieur ou égal à 1, le pic de la distribution est à une extrémité (0 ou 1) ou la distribution est en forme de U, auquel cas le mode comme pic unique n'est pas bien défini de la même manière.
A Priori Informatifs vs Non Informatifs
Dans l'analyse bayésienne, choisir les a priori est crucial. Une distribution Bêta(1, 1) est une distribution uniforme, représentant aucune connaissance a priori (un a priori non informatif). Utiliser Bêta(0, 0) est parfois suggéré mais c'est un a priori impropre. Un a priori informatif, comme Bêta(10, 2), suggérerait fortement que la probabilité de succès est élevée.

Dérivation Mathématique et Formules

  • Fonction de Densité de Probabilité (PDF)
  • Fonction de Répartition (CDF)
  • Mesures Statistiques Clés
La fondation mathématique de la distribution Bêta réside dans la fonction Bêta, B(α, β).
La Formule PDF
La PDF est donnée par : f(x; α, β) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α, β), où B(α, β) = Γ(α)Γ(β) / Γ(α+β) est la fonction Bêta, et Γ est la fonction Gamma. Cette formule garantit que l'aire totale sous la courbe est 1.
La Formule CDF
La CDF est la fonction bêta incomplète régularisée, I_x(α, β), qui représente l'intégrale de la PDF de 0 à x. Elle n'a pas d'expression fermée simple et est typiquement calculée numériquement.
Formules pour la Moyenne, Variance et Mode
• Moyenne (E[X]) : α / (α + β)
• Variance (Var(X)) : (αβ) / ((α + β)²(α + β + 1))
• Mode : (α - 1) / (α + β - 2) (pour α, β > 1)