Distribution Binomiale Négative

Distributions et Modèles Statistiques

Ce calculateur détermine la probabilité qu'un nombre spécifique d'échecs se produise avant qu'un nombre prédéterminé de succès soit atteint dans une série d'épreuves de Bernoulli.

Exemples Pratiques

Explorez des scénarios du monde réel pour comprendre comment la distribution binomiale négative est appliquée.

Contrôle Qualité en Fabrication

manufacturing

Un fabricant inspecte des articles d'une ligne de production. La probabilité qu'un article soit non défectueux est de 0,95. Quelle est la probabilité de trouver 3 articles défectueux avant de trouver 100 articles non défectueux ?

r: 100, p: 0.95, k: 3

Lancers Francs de Basketball

sports

Une joueuse de basketball réussit ses lancers francs avec un taux de succès de 70 %. Quelle est la probabilité qu'elle rate 5 tirs avant de réussir 10 lancers ?

r: 10, p: 0.70, k: 5

Échantillonnage Écologique

biology

Un écologiste recherche une espèce rare d'orchidée, avec une chance de 5 % d'en trouver une dans un quadrat donné. Quelle est la probabilité de rechercher 50 quadrats vides avant de trouver 3 orchidées ?

r: 3, p: 0.05, k: 50

Succès des Appels de Vente

sales

Un commercial a 20 % de chances de conclure une affaire lors de n'importe quel appel. Quelle est la probabilité qu'il obtienne 15 refus avant de conclure 4 affaires ?

r: 4, p: 0.20, k: 15

Autres titres
Comprendre la Distribution Binomiale Négative : Un Guide Complet
Plongez profondément dans les concepts, applications et mathématiques derrière la distribution binomiale négative.

Qu'est-ce que la Distribution Binomiale Négative ?

  • Concepts Fondamentaux
  • Paramètres Clés
  • Comparaison avec la Distribution Binomiale
La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre d'échecs (k) dans une séquence d'épreuves de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées avant qu'un nombre spécifié et non aléatoire de succès (r) ne se produise. Chaque épreuve n'a que deux résultats possibles : succès ou échec, avec la probabilité de succès (p) restant constante tout au long des épreuves.
Concepts Fondamentaux
Contrairement à la distribution binomiale, qui compte les succès dans un nombre fixe d'épreuves, la distribution binomiale négative compte les échecs jusqu'à ce qu'un nombre fixe de succès soit atteint. Cela la rend particulièrement utile pour modéliser des scénarios de 'temps d'attente'.
Paramètres Clés
La distribution est définie par deux paramètres : 'r' (le nombre de succès à atteindre) et 'p' (la probabilité de succès lors d'une épreuve individuelle). La variable aléatoire 'X' représente le nombre d'échecs observés avant le r-ième succès.
Comparaison avec la Distribution Binomiale
La différence clé réside dans ce qui est fixe et ce qui est aléatoire. Dans une expérience binomiale, le nombre d'épreuves est fixe et le nombre de succès est la variable aléatoire. Dans une expérience binomiale négative, le nombre de succès est fixe et le nombre d'épreuves (ou d'échecs) est la variable aléatoire.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Saisie des Paramètres
  • Interprétation des Résultats
  • Utilisation des Fonctionnalités Reset et Exemples
Ce calculateur simplifie le processus de travail avec la distribution binomiale négative. Suivez ces étapes pour obtenir vos résultats.
Saisie des Paramètres
  1. Nombre de Succès (r) : Entrez le nombre cible de succès. Ce doit être un entier positif.
  2. Probabilité de Succès (p) : Entrez la probabilité d'un succès unique. Ce doit être un nombre entre 0 et 1.
  3. Nombre d'Échecs (k) : Entrez le nombre spécifique d'échecs qui vous intéresse. Ce doit être un entier non négatif.
Interprétation des Résultats
Le calculateur fournit plusieurs métriques clés : P(X=k) est la probabilité d'observer exactement 'k' échecs ; P(X≤k) est la probabilité cumulative d'observer 'k' échecs ou moins ; P(X>k) est la probabilité d'observer plus de 'k' échecs. Il calcule également la moyenne, la variance et l'écart-type de la distribution.
Utilisation des Fonctionnalités Reset et Exemples
Cliquez sur 'Réinitialiser' pour effacer tous les champs de saisie et résultats. Utilisez la section 'Exemples' pour charger des scénarios pré-remplis, ce qui aide à comprendre les applications pratiques de la formule.

Applications Réelles de la Distribution Binomiale Négative

  • Contrôle Qualité
  • Biologie et Écologie
  • Commerce et Finance
La distribution binomiale négative n'est pas seulement un concept théorique ; elle a de nombreuses applications pratiques dans divers domaines.
Contrôle Qualité
En fabrication, elle peut être utilisée pour modéliser le nombre d'articles défectueux qui doivent être inspectés avant qu'un certain nombre d'articles non défectueux soient trouvés. Cela aide à mettre en place des plans d'inspection efficaces.
Biologie et Écologie
Les écologistes l'utilisent pour modéliser l'abondance des espèces. Par exemple, compter le nombre de plantes non-hôtes ('échecs') qu'un insecte doit visiter avant de trouver un certain nombre de plantes hôtes ('succès').
Commerce et Finance
En vente, elle peut prédire le nombre d'appels infructueux qu'un représentant pourrait avoir à faire avant d'atteindre un nombre cible de ventes. En finance, elle peut être appliquée pour modéliser le nombre de trades perdants avant un certain nombre de trades rentables.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Confusion avec la Distribution Géométrique
  • Supposer une Probabilité Constante
  • Ignorer l'Indépendance des Épreuves
Comprendre les pièges courants peut aider à appliquer correctement la distribution binomiale négative.
Confusion avec la Distribution Géométrique
Une erreur courante est de la confondre avec la distribution géométrique. La distribution géométrique est un cas spécial de la distribution binomiale négative où le nombre de succès (r) est exactement 1. Pour r > 1, la distribution binomiale négative est requise.
Supposer une Probabilité Constante
Le modèle suppose que la probabilité de succès 'p' est constante pour chaque épreuve. Dans les scénarios du monde réel, cela pourrait ne pas toujours être vrai (par exemple, le pourcentage de lancers francs d'un joueur pourrait changer avec la fatigue). Il est crucial de valider cette hypothèse.
Ignorer l'Indépendance des Épreuves
Les épreuves doivent être indépendantes. Le résultat d'une épreuve ne devrait pas influencer le résultat d'une autre. Si les épreuves sont dépendantes (par exemple, tirer des cartes sans remise), d'autres modèles statistiques devraient être utilisés.

Dérivation Mathématique et Formule

  • La Fonction de Masse de Probabilité (PMF)
  • Calcul de la Moyenne et de la Variance
  • Un Exemple Résolu
La probabilité d'observer 'k' échecs avant le r-ième succès est donnée par la Fonction de Masse de Probabilité (PMF).
La Fonction de Masse de Probabilité (PMF)
La formule est : P(X = k) = C(k + r - 1, k) p^r (1-p)^k. Ici, C(n, k) est le coefficient binomial, calculé comme n! / (k! * (n-k)!). Il représente le nombre de façons d'arranger les k échecs parmi les k+r-1 épreuves (puisque la dernière épreuve doit être un succès).
Calcul de la Moyenne et de la Variance
Le nombre attendu d'échecs (moyenne) est μ = (r (1-p)) / p. La variance, qui mesure la dispersion de la distribution, est σ² = (r (1-p)) / p².
Un Exemple Résolu
Disons que nous voulons trouver 2 succès (r=2) avec une probabilité de succès de 0,25 (p=0,25), et nous voulons connaître la probabilité d'avoir 3 échecs (k=3) d'abord. P(X=3) = C(3+2-1, 3) (0,25)^2 (0,75)^3 = C(4, 3) 0,0625 0,421875 = 4 * 0,026367... ≈ 0,1055.