Calculateur de Distribution Lognormale

Distributions et Modèles Statistiques

Entrez les paramètres de la distribution lognormale pour calculer ses propriétés.

Exemples

Explorez quelques scénarios courants pour la distribution lognormale.

Distribution Lognormale Standard

Cas Standard

Une distribution lognormale standard avec μ=0 et σ=1.

σ: 1, μ: 0

x: 1.5

Analyse du Prix des Actions

Modélisation Financière

Modélisation d'un prix d'action avec une moyenne et une volatilité données.

σ: 0.4, μ: 2

x: 10

Analyse de Fiabilité

Ingénierie

Analyse du temps jusqu'à la défaillance d'un composant.

σ: 0.75, μ: 5

x: 100

Modélisation des Prix Immobiliers

Immobilier

Modélisation des prix immobiliers dans une zone spécifique.

σ: 0.2, μ: 12

x: 200000

Autres titres
Comprendre la Distribution Lognormale : Un Guide Complet
Un aperçu approfondi des propriétés, applications et calculs de la distribution lognormale.

Qu'est-ce que la Distribution Lognormale ?

  • Concept Fondamental
  • Paramètres Clés
  • Relation avec la Distribution Normale
La distribution lognormale est une distribution de probabilité continue d'une variable aléatoire dont le logarithme est normalement distribué. En d'autres termes, si une variable aléatoire X est lognormalement distribuée, alors Y = ln(X) a une distribution normale. Cette distribution est largement utilisée pour modéliser des quantités aléatoires continues qui sont toujours positives et ont des distributions asymétriques avec de longues queues droites.
Paramètres Clés
Une distribution lognormale est définie par deux paramètres : le paramètre de localisation (μ, ou échelle log) et le paramètre d'échelle (σ, ou forme). Ce sont la moyenne et l'écart-type du logarithme de la variable, et non de la variable elle-même. Changer μ déplace toute la distribution, tandis que changer σ modifie sa forme.
Relation avec la Distribution Normale
Le lien entre les distributions lognormale et normale est fondamental. Si vous prenez le logarithme naturel d'un ensemble de données lognormalement distribué, les données résultantes seront normalement distribuées. Cette propriété est cruciale pour l'analyse et est la raison du nom de la distribution.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Distribution Lognormale

  • Saisie des Paramètres
  • Interprétation des Résultats
  • Utilisation des Exemples
Saisie des Paramètres
Pour utiliser le calculateur, vous devez fournir trois valeurs : Échelle (σ), Localisation (μ), et la valeur x. 'Échelle' est l'écart-type des données logarithmiques et doit être positif. 'Localisation' est la moyenne des données logarithmiques. 'Valeur x' est le point spécifique auquel vous voulez calculer les fonctions de probabilité et doit être non négatif.
Interprétation des Résultats
Le calculateur fournit six sorties clés : PDF (la probabilité que la variable prenne une valeur spécifique x), CDF (la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x), et la Moyenne, Médiane, Mode et Variance de la distribution. Ces métriques fournissent une image complète des caractéristiques de la distribution.

Applications Réelles de la Distribution Lognormale

  • Finance et Économie
  • Ingénierie et Fiabilité
  • Biologie et Médecine
Finance et Économie
En finance, les distributions lognormales sont célèbrement utilisées pour modéliser les prix des actions, car un prix d'action ne peut pas être négatif et ses changements sont souvent multiplicatifs. C'est une pierre angulaire du modèle Black-Scholes pour la tarification des options.
Ingénierie et Fiabilité
En ingénierie de fiabilité, le temps qu'il faut à un matériau pour se défaillir sous contrainte suit souvent une distribution lognormale. Ceci est utilisé pour prédire les durées de vie des produits et les calendriers de maintenance.
Biologie et Médecine
De nombreux processus biologiques résultent en des quantités lognormalement distribuées. Les exemples incluent la taille des tissus vivants, le nombre de cheveux sur la tête d'une personne, et la période de latence des maladies infectieuses.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Confusion des Paramètres
  • Interprétation de la Moyenne
  • Hypothèse de Symétrie
Confusion des Paramètres (μ et σ)
Une erreur courante est d'interpréter μ et σ comme la moyenne et l'écart-type directs des données. Ils sont la moyenne et l'écart-type du logarithme des données. La moyenne et la variance réelles de la distribution sont calculées à partir de ces paramètres, comme montré dans les résultats.
Hypothèse de Symétrie
Contrairement à la distribution normale, la distribution lognormale n'est pas symétrique. Elle est asymétrique positivement, avec une longue queue à droite. La moyenne, la médiane et le mode sont tous des valeurs différentes, ce qui est une caractéristique clé de sa forme.

Dérivation Mathématique et Formules

  • Fonction de Densité de Probabilité (PDF)
  • Fonction de Distribution Cumulée (CDF)
  • Propriétés Statistiques Clés
Fonction de Densité de Probabilité (PDF)
La formule pour la PDF d'une distribution lognormale est : f(x) = (1 / (x σ sqrt(2π))) exp(-(ln(x) - μ)² / (2 σ²)) pour x > 0.
Fonction de Distribution Cumulée (CDF)
La CDF est donnée par : F(x) = Φ((ln(x) - μ) / σ), où Φ est la CDF de la distribution normale standard.
Propriétés Statistiques Clés

Formules :

  • Moyenne : E[X] = exp(μ + σ²/2)
  • Médiane : Med[X] = exp(μ)
  • Mode : Mode[X] = exp(μ - σ²)
  • Variance : Var[X] = (exp(σ²) - 1) * exp(2μ + σ²)