Calculateur de Distribution Normale

Distributions et Modèles Statistiques

Cet outil vous aide à calculer les probabilités et les valeurs associées à la distribution normale (gaussienne). Vous pouvez trouver la densité de probabilité (PDF), la probabilité cumulative (CDF) pour une valeur donnée, ou la probabilité qu'une valeur tombe dans une plage spécifique.

Exemples

Explorez quelques cas d'usage courants pour le Calculateur de Distribution Normale.

Probabilité de Score de QI

Inférieur à

Calculez la probabilité qu'une personne ait un score de QI inférieur à 120, étant donné que la moyenne est de 100 et l'écart-type de 15.

μ: 100, σ: 15

x: 120

Mouvement du Prix des Actions

Supérieur à

Trouvez la probabilité qu'un prix d'action dépasse 55$ le mois prochain, en supposant que le prix moyen est de 50$ avec un écart-type de 5$.

μ: 50, σ: 5

x: 55

Scores d'Examen des Étudiants

Entre

Déterminez le pourcentage d'étudiants qui ont obtenu un score entre 75 et 90 à un examen où le score moyen était de 80 et l'écart-type de 5.

μ: 80, σ: 5

a: 75, b: 90

Distribution Normale Standard

Inférieur à

En utilisant la distribution normale standard (μ=0, σ=1), trouvez la probabilité cumulative pour un score Z de 1.96.

μ: 0, σ: 1

x: 1.96

Autres titres
Comprendre la Distribution Normale : Un Guide Complet
Plongez dans les concepts, applications et mathématiques derrière la distribution la plus importante en statistiques.

Qu'est-ce que la Distribution Normale ?

  • La Courbe en Cloche
  • Caractéristiques Clés
  • La Distribution Normale Standard
La distribution normale, également connue sous le nom de distribution gaussienne, est une distribution de probabilité continue caractérisée par sa courbe symétrique en forme de cloche. C'est la distribution la plus importante en statistiques et elle est fondamentale pour de nombreuses théories et méthodes statistiques. Un grand nombre de phénomènes naturels, des hauteurs humaines aux erreurs de mesure, tendent à suivre cette distribution.
Caractéristiques Clés
La forme et la position de la distribution normale sont déterminées par deux paramètres : la moyenne (μ) et l'écart-type (σ). La moyenne représente le point central de la distribution, où se trouve le pic de la courbe en cloche. L'écart-type mesure la dispersion des points de données autour de la moyenne. Un écart-type plus petit donne une courbe plus étroite et plus haute, tandis qu'un écart-type plus grand conduit à une courbe plus large et plus basse.
La Distribution Normale Standard
Un cas particulier de la distribution normale est la distribution normale standard, qui a une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Toute distribution normale peut être convertie en distribution normale standard en utilisant la formule du score Z : Z = (X - μ) / σ. Cette standardisation permet de comparer les scores de différentes distributions normales et simplifie les calculs de probabilité.

Propriétés Clés :

  • Symétrique autour de la moyenne (μ).
  • La moyenne, la médiane et le mode sont tous égaux.
  • L'aire totale sous la courbe est égale à 1 (ou 100%).

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Distribution Normale

  • Sélection du Type de Calcul
  • Saisie des Paramètres
  • Interprétation des Résultats
Ce calculateur est conçu pour être facile à utiliser. Suivez ces étapes pour effectuer vos calculs :
1. Sélectionnez Votre Type de Calcul
Choisissez ce que vous voulez calculer dans le menu déroulant : P(X < x) pour la probabilité qu'une valeur soit inférieure à x, P(X > x) pour la probabilité qu'une valeur soit supérieure à x, ou P(a < X < b) pour la probabilité qu'une valeur tombe entre deux points.
2. Entrez les Paramètres de Distribution
Saisissez la Moyenne (μ) et l'Écart-type (σ) de votre ensemble de données. L'écart-type doit être un nombre positif.
3. Fournissez la/les Valeur(s) d'Intérêt
Selon votre sélection à l'étape 1, entrez la valeur pour 'x', ou les bornes inférieure et supérieure 'a' et 'b'.
4. Interprétez les Résultats
Le calculateur fournira le(s) score(s) Z pour vos valeurs d'entrée, la valeur de la fonction de densité de probabilité (PDF), et la probabilité cumulative calculée. Le score Z vous indique combien d'écarts-types votre valeur est éloignée de la moyenne, tandis que le résultat de probabilité vous donne la vraisemblance selon votre type de calcul choisi.

Applications Réelles de la Distribution Normale

  • Contrôle Qualité en Fabrication
  • Finance et Économie
  • Sciences Naturelles et Sociales
L'applicabilité de la distribution normale s'étend à de nombreux domaines.
Contrôle Qualité
En fabrication, les dimensions des produits (comme le diamètre d'une vis) suivent souvent une distribution normale. Les entreprises utilisent cela pour fixer les limites de tolérance et déterminer la probabilité qu'un produit soit défectueux.
Finance
Les rendements des actifs sont souvent supposés être normalement distribués, ce qui est une pierre angulaire de modèles comme le modèle de tarification d'options Black-Scholes. Cela aide à évaluer les risques et à modéliser les mouvements futurs des prix.
Sciences Naturelles et Sociales
De nombreuses mesures biologiques (taille, poids, tension artérielle) et métriques psychologiques (scores de QI, résultats de tests) sont approximativement normalement distribuées. Cela permet aux chercheurs de définir des plages 'normales' et d'identifier les valeurs aberrantes.

Scénario d'Exemple : Scores d'Examen

  • Si les scores d'examen dans une grande classe sont normalement distribués avec une moyenne de 75 et un écart-type de 10, un enseignant peut calculer le pourcentage d'étudiants qui obtiendront un score supérieur à 90 (note A) ou inférieur à 60 (échec).

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Toutes les Données ne sont pas Normales
  • La Signification du PDF
  • La Symétrie est Clé
Hypothèse de Normalité
Une erreur courante est de supposer que tous les ensembles de données sont normalement distribués. Bien que beaucoup le soient, il est crucial de tester d'abord la normalité en utilisant des méthodes comme les histogrammes ou des tests statistiques (par exemple, Shapiro-Wilk). Appliquer les principes de distribution normale à des données non normales peut conduire à des conclusions incorrectes.
Interprétation du PDF
La valeur de la Fonction de Densité de Probabilité (PDF) n'est pas une probabilité elle-même. Pour une distribution continue, la probabilité de tout point exact unique est zéro. Le PDF représente la vraisemblance relative d'une valeur. La probabilité est trouvée en calculant l'aire sous la courbe (l'intégrale) sur une plage, ce que fait la Fonction de Distribution Cumulative (CDF).
Importance de la Symétrie
La symétrie de la distribution normale est une propriété fondamentale. Pour une distribution normale standard, P(Z < -z) est égal à P(Z > z). Cette symétrie simplifie de nombreux calculs.

Dérivation Mathématique et Formules

  • La Formule PDF
  • La Transformation Score Z
  • La Fonction de Distribution Cumulative (CDF)
Fonction de Densité de Probabilité (PDF)
La formule pour le PDF d'une distribution normale est : f(x) = (1 / (σ √(2π))) e^(-(x - μ)² / (2σ²)), où μ est la moyenne, σ est l'écart-type, et e est le nombre d'Euler (≈2.718). Ce calculateur utilise cette formule pour déterminer la hauteur de la courbe à un point spécifique x.
Formule du Score Z
Pour standardiser une valeur de toute distribution normale, nous utilisons : Z = (X - μ) / σ. Cela nous donne un score Z qui peut être utilisé avec la distribution normale standard (μ=0, σ=1).
Fonction de Distribution Cumulative (CDF)
La CDF, qui donne P(X ≤ x), n'a pas d'expression fermée simple. Elle est calculée en intégrant le PDF. Computationally, elle est souvent approximée en utilisant la fonction d'erreur (erf) : Φ(z) = 0.5 * (1 + erf(z / √2)), où z est le score Z. Notre calculateur utilise une méthode numérique précise pour calculer cette valeur.