Calculateur de Distribution Normale Inverse - Trouver X à partir de la Probabilité

Qu'est-ce que la Distribution Normale Inverse ?

De la Probabilité à la Valeur
Le Rôle de la Moyenne et de l'Écart-type
Terminologie Clé : Fonction Quantile et Fonction de Point de Pourcentage

La distribution normale inverse, également connue sous le nom de fonction quantile ou fonction de point de pourcentage, fonctionne à l'inverse de la fonction de distribution cumulative standard (CDF). Alors que la CDF prend une valeur (x) et vous donne la probabilité cumulative jusqu'à ce point, la distribution normale inverse prend une probabilité cumulative (aire sous la courbe) et vous donne la valeur x correspondante.

Cela est incroyablement utile lorsque vous connaissez un certain percentile ou une probabilité et que vous devez trouver le point de données spécifique qui lui est associé. Par exemple, si vous voulez connaître le score de test qui sépare les 10% supérieurs des étudiants, vous utiliseriez la distribution normale inverse.

Le Rôle de la Moyenne et de l'Écart-type

Toute distribution normale est définie par deux paramètres : sa moyenne (μ) et son écart-type (σ). La moyenne détermine le centre de la courbe en cloche, et l'écart-type détermine sa dispersion ou sa largeur. Le calcul de la normale inverse dépend de ces deux paramètres pour transformer une probabilité de la distribution normale standard (où μ=0, σ=1) vers la distribution spécifique avec laquelle vous travaillez.

Exemples Conceptuels :

Si une probabilité de 0,5 est entrée, le calculateur retournera la moyenne de la distribution, car la moyenne est le 50e percentile.
Pour une distribution normale standard (μ=0, σ=1), une probabilité unilatérale gauche de 0,8413 correspond à une valeur x (ou score Z) d'environ 1.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

Saisir Vos Données
Choisir le Bon Type de Queue
Interpréter les Résultats

1. Saisir Vos Données

Entrez la moyenne (μ) et l'écart-type (σ) de votre distribution normale. Si vous travaillez avec une distribution normale standard (scores Z), utilisez une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Ensuite, saisissez la probabilité cumulative (aire). Cette valeur doit être comprise entre 0 et 1.

2. Choisir le Bon Type de Queue

C'est une étape cruciale. Le type de queue indique au calculateur comment interpréter la probabilité que vous avez fournie :

Queue Gauche : Sélectionnez ceci si votre probabilité représente l'aire à gauche de la valeur x inconnue (P(X < x)). Ceci est utilisé pour trouver les percentiles.

Queue Droite : Sélectionnez ceci si votre probabilité représente l'aire à droite de la valeur x inconnue (P(X > x)). Ceci est utilisé pour trouver les seuils de 'pourcentage supérieur'.

Bilatéral (Centre) : Sélectionnez ceci si votre probabilité représente l'aire centrale entre deux valeurs x inconnues (P(x1 < X < x2)). Le calculateur trouve les deux valeurs x qui délimitent cette région centrale.

3. Interpréter les Résultats

Le calculateur fournit la/les valeur(s) X qui correspondent à votre probabilité d'entrée. Il fournit également le Score Z, qui vous indique combien d'écarts-types la valeur X résultante est éloignée de la moyenne. Pour les calculs bilatéraux, il fournira les bornes inférieure et supérieure (x1 et x2).

Applications Réelles

Finance et Gestion des Risques
Contrôle Qualité en Fabrication
Tests Éducatifs et Psychologiques

Finance et Gestion des Risques

Les analystes financiers utilisent la distribution normale inverse pour estimer la Value at Risk (VaR). En spécifiant une probabilité (par exemple, 5%), ils peuvent calculer la perte potentielle maximale sur un investissement sur une période donnée. Par exemple, 'Nous sommes confiants à 95% que nos pertes ne dépasseront pas 1 million de dollars le prochain jour de trading.'

Contrôle Qualité en Fabrication

Les ingénieurs déterminent les limites de spécification pour un produit. Si un fabricant veut que 99% de ses produits soient dans une certaine plage de poids, il peut utiliser la distribution normale inverse pour trouver les limites de poids exactes qui correspondent aux 99% centraux de son processus de production.

Tests Éducatifs et Psychologiques

Les tests standardisés comme le SAT ou les tests de QI ont souvent des scores qui sont normalement distribués. La fonction normale inverse peut être utilisée pour déterminer le score requis pour être dans un certain percentile, par exemple, le score nécessaire pour être dans le top 1% des candidats pour une bourse.

Dérivation Mathématique et Formule

La Distribution Normale Standard (Distribution Z)
La Fonction Quantile (Φ⁻¹)
Conversion de Z vers X

Le calcul repose sur la distribution normale standard, qui a une moyenne de 0 et un écart-type de 1. La variable pour cette distribution est appelée le score Z.

La Formule

Le cœur du calculateur est la fonction quantile normale standard, notée Φ⁻¹(p), où 'p' est la probabilité. Il n'y a pas de formule algébrique simple pour cette fonction ; elle est calculée à l'aide d'algorithmes d'approximation numérique (comme l'approximation d'Acklam utilisée par ce calculateur).

Une fois que le score Z est trouvé à partir de la probabilité (Z = Φ⁻¹(p)), il est converti en valeur x de votre distribution spécifique en utilisant la formule de conversion standard :

X = μ + Z * σ

Où : X est la valeur dans votre distribution, μ est la moyenne, σ est l'écart-type, et Z est le score Z calculé.

Exemple de Calcul Détaillé

Problème : Trouvez le seuil pour les 10% supérieurs des scores d'examen où la moyenne est 70 et l'écart-type est 5.
1. Type de Queue : C'est un problème unilatéral droit car nous voulons le 'pourcentage supérieur'.
2. Probabilité pour Z : L'aire à gauche du seuil est 1 - 0,10 = 0,90.
3. Trouver Z : Nous devons trouver Z tel que P(Z < z) = 0,90. En utilisant la fonction quantile, Z ≈ 1,282.
4. Convertir en X : X = 70 + 1,282 * 5 = 70 + 6,41 = 76,41. Le score nécessaire est d'environ 76,41.

Distribution Normale Standard (Score Z)

Top 2% des Scores de QI