Calculateur de Distribution de Poisson

Distributions et Modèles Statistiques

Calculez la probabilité d'un nombre donné d'événements se produisant dans un intervalle fixe de temps ou d'espace.

Exemples

Explorez des scénarios du monde réel pour comprendre comment fonctionne la distribution de Poisson.

Volume d'un Centre d'Appels

call-center

Un centre d'appels reçoit en moyenne 10 appels par heure. Quelle est la probabilité de recevoir exactement 5 appels en une heure ?

λ: 10, x: 5

Défauts de Fabrication

manufacturing

Une usine produit des ampoules électriques, et il y a en moyenne 2 défauts pour 100 ampoules. Quelle est la probabilité de ne trouver aucun défaut dans un lot de 100 ?

λ: 2, x: 0

Bactéries dans un Échantillon

biology

Un biologiste s'attend à trouver 4 d'un certain type de bactéries sur une boîte de Pétri. Quelle est la probabilité de trouver au plus 3 bactéries ?

λ: 4, x: 3

Visiteurs de Site Web

web-traffic

Un site web reçoit en moyenne 5,5 visiteurs par minute. Quelle est la probabilité d'obtenir plus de 7 visiteurs en une minute ?

λ: 5.5, x: 7

Autres titres
Comprendre la Distribution de Poisson : Un Guide Complet
Plongez profondément dans les concepts, applications et mathématiques derrière le Calculateur de Distribution de Poisson.

Qu'est-ce que la Distribution de Poisson ?

  • Concepts Fondamentaux
  • Hypothèses Clés
  • Relation avec d'Autres Distributions
La distribution de Poisson est une distribution de probabilité discrète qui exprime la probabilité d'un nombre donné d'événements se produisant dans un intervalle fixe de temps ou d'espace si ces événements se produisent avec un taux moyen constant connu et indépendamment du temps écoulé depuis le dernier événement. Elle porte le nom du mathématicien français Siméon Denis Poisson.
Concepts Fondamentaux
La distribution est définie par un seul paramètre, λ (lambda), qui représente le nombre moyen d'événements dans l'intervalle donné. Par exemple, si un centre d'appels reçoit en moyenne 10 appels par heure, λ = 10.
Hypothèses Clés
Pour que la distribution de Poisson soit un modèle valide, plusieurs hypothèses doivent être respectées : 1) Les événements sont indépendants. 2) Le taux moyen d'événements (λ) est constant. 3) Deux événements ne peuvent pas se produire exactement au même instant. 4) La probabilité d'un événement dans un petit intervalle est proportionnelle à la longueur de l'intervalle.
Relation avec d'Autres Distributions
La distribution de Poisson peut être considérée comme un cas limite de la distribution binomiale lorsque le nombre d'essais (n) est très grand et la probabilité de succès (p) est très petite (c'est-à-dire n → ∞, p → 0, et np → λ).

Exemples Conceptuels

  • Nombre d'emails que vous recevez en une heure.
  • Nombre de fautes de frappe sur une page d'un livre.
  • Nombre de voitures passant par un point spécifique sur une autoroute en une minute.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Distribution de Poisson

  • Saisir Vos Données
  • Interpréter les Résultats
  • Utiliser les Fonctions de Réinitialisation et d'Exemples
Notre calculateur simplifie le processus de recherche des probabilités de Poisson. Voici comment l'utiliser efficacement.
Saisir Vos Données
Vous avez besoin de deux informations : le 'Taux Moyen de Succès (λ)' et le 'Nombre de Succès (x)'. Lambda (λ) est le nombre moyen de fois que l'événement se produit, et x est le nombre spécifique qui vous intéresse.
Interpréter les Résultats
Le calculateur fournit plusieurs sorties : P(X = x) est la probabilité d'exactement x événements. P(X ≤ x) est la probabilité cumulée de x événements ou moins. P(X ≥ x) est la probabilité de x événements ou plus. Il montre également la moyenne, la variance et l'écart-type de la distribution.
Utiliser les Fonctions de Réinitialisation et d'Exemples
Le bouton 'Réinitialiser' efface toutes les entrées et résultats. La section 'Exemples' fournit des scénarios pré-remplis pour vous aider à comprendre différents cas d'usage.

Applications Réelles de la Distribution de Poisson

  • Finance et Assurance
  • Télécommunications
  • Contrôle Qualité
La distribution de Poisson n'est pas seulement un concept théorique ; elle est largement utilisée dans divers domaines.
Finance et Assurance
Les assureurs l'utilisent pour modéliser le nombre de réclamations (par exemple, accidents de voiture, incendies de maison) qu'ils s'attendent à recevoir dans une période donnée pour fixer les primes de manière appropriée.
Télécommunications
Elle aide à modéliser le nombre d'appels arrivant dans un centre d'appels ou le nombre de paquets de données arrivant à un routeur, ce qui est crucial pour la planification de la capacité.
Contrôle Qualité
Les fabricants utilisent la distribution de Poisson pour surveiller le nombre de défauts ou d'imperfections dans un produit (par exemple, défauts par mètre carré de tissu, taches par panneau de voiture).

Scénarios d'Application

  • Modélisation du nombre de faillites par mois dans une ville.
  • Estimation du nombre de buts dans un match de football.
  • Prédiction du nombre d'événements de désintégration radioactive dans un temps donné.

Dérivation Mathématique et Formule

  • La Formule de Poisson
  • Calcul des Probabilités Cumulatives
  • Moyenne, Variance et Écart-Type
La magie derrière le calculateur est la fonction de masse de probabilité (PMF) de Poisson.
La Formule de Poisson
La probabilité d'observer exactement x événements est donnée par la formule : P(X=x) = (λ^x * e^-λ) / x! où 'e' est le nombre d'Euler (environ 2,71828), 'λ' est le taux moyen, et 'x!' est la factorielle de x.
Calcul des Probabilités Cumulatives
Pour trouver les probabilités cumulatives comme P(X ≤ x), nous additionnons les probabilités de tous les résultats de 0 jusqu'à x : Σ [i=0 à x] P(X=i).
Moyenne, Variance et Écart-Type
Une propriété unique de la distribution de Poisson est que sa moyenne (valeur attendue) et sa variance sont toutes deux égales à λ. L'écart-type est donc √λ.

Exemple de Calcul

  • Si λ=3 et x=2, P(X=2) = (3^2 * e^-3) / 2! = (9 * 0,0498) / 2 ≈ 0,224.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Confusion avec la Binomiale
  • Supposer un Taux Constant
  • Mal Interpréter Lambda
Comprendre les pièges courants peut vous aider à appliquer correctement la distribution de Poisson.
Confusion avec la Distribution Binomiale
La distribution binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais, tandis que la distribution de Poisson modélise le nombre d'événements dans un intervalle fixe. Utilisez la binomiale pour les scénarios 'sur n' et Poisson pour les scénarios de 'taux'.
Supposer un Taux Constant
Une hypothèse clé est que le taux moyen λ est constant. Si le taux change au cours de l'intervalle (par exemple, le volume d'appels est plus élevé pendant les heures de bureau), un modèle de Poisson standard peut ne pas être approprié.
Mal Interpréter Lambda
Assurez-vous que le lambda (λ) que vous utilisez correspond à l'intervalle qui vous intéresse. Si vous connaissez le taux par heure mais voulez calculer la probabilité pour un intervalle de 30 minutes, vous devez ajuster λ en conséquence (par exemple, diviser par 2).