Calculateur de Régression Cubique

Modèles de Régression et de Prédiction

Saisissez vos points de données (x, y) pour calculer l'équation de régression cubique, les coefficients et le coefficient de détermination (R²).

Exemples

Cliquez sur un exemple pour charger les données dans le calculateur.

Courbe Croissante Simple

basic

Un exemple de base de points de données qui suivent une tendance cubique croissante claire.

Points de Données:

1, 2
2, 5
3, 18
4, 45
5, 90

Modèle de Croissance Économique

economic

Simulation d'un modèle de croissance économique à court terme sur 5 ans.

Points de Données:

2018, 102.5
2019, 105.1
2020, 103.9
2021, 108.2
2022, 115.3

Test de Contrainte-Déformation de Matériau

material

Données d'une expérience en science des matériaux montrant un comportement non-linéaire.

Points de Données:

0.1, 5
0.2, 12
0.3, 23
0.4, 40
0.5, 61

Dynamique de Population

population

Un ensemble de données représentant le changement dans une population d'espèces au fil du temps.

Points de Données:

0, 500
10, 550
20, 620
30, 780
40, 1100
50, 1500
Autres titres
Comprendre la Régression Cubique : Un Guide Complet
Plongez dans les concepts, applications et mathématiques derrière le Calculateur de Régression Cubique.

Qu'est-ce que la Régression Cubique ?

  • Définir le Modèle Cubique
  • Distinguer de la Régression Linéaire et Quadratique
  • L'Objectif : Minimiser les Erreurs
La régression cubique est une méthode statistique utilisée pour modéliser la relation entre une variable indépendante (X) et une variable dépendante (Y) lorsque la relation suit une tendance polynomiale cubique, ou de troisième degré. Elle trouve la ligne de 'meilleur ajustement' à travers un ensemble de points de données en créant une équation de la forme : Y = aX³ + bX² + cX + d.
Contrairement à la régression linéaire, qui ajuste une ligne droite, ou à la régression quadratique, qui ajuste une parabole, la régression cubique peut capturer des courbes plus complexes, en forme de S ou de N, avec deux points de retournement distincts. Cela la rend idéale pour les ensembles de données où le taux de changement lui-même change.
Le Principe des Moindres Carrés
Le cœur de la régression cubique est la méthode des moindres carrés. Le calculateur détermine les valeurs pour les coefficients (a, b, c, d) qui minimisent la somme des différences au carré entre les valeurs Y réelles dans vos données et les valeurs Y prédites par l'équation cubique. Cela garantit que la courbe résultante est l'ajustement le plus proche possible des données.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Régression Cubique

  • Saisir Vos Données Correctement
  • Interpréter les Résultats
  • Faire des Prédictions
1. Saisie des Données
Commencez par saisir vos points de données dans la zone de texte 'Points de Données'. Chaque point consiste en une valeur X et Y. Vous pouvez séparer X et Y avec une virgule ou un espace, et vous devez placer chaque paire (X, Y) sur une nouvelle ligne. Vous avez besoin d'un minimum de quatre points de données pour effectuer une régression cubique.
2. Calcul
Une fois vos données saisies, cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil traitera instantanément les points.
3. Analyser la Sortie
Le calculateur fournit plusieurs sorties clés : Équation de Régression (La meilleure équation cubique), Coefficients (a, b, c, d), et Coefficient de Détermination (R²), qui indique à quel point le modèle s'ajuste bien aux données (plus proche de 1 est meilleur).

Applications Réelles de la Régression Cubique

  • Économie et Finance
  • Biologie et Sciences de l'Environnement
  • Ingénierie et Science des Matériaux
La régression cubique est un outil polyvalent utilisé dans de nombreux domaines pour modéliser des relations complexes.
Économie et Finance
Les analystes utilisent la régression cubique pour modéliser des indicateurs économiques qui montrent des périodes de croissance rapide, de stabilisation et de déclin, tels que les cycles de vie des produits ou certains modèles de prix des actions.
Biologie et Sciences de l'Environnement
Elle peut modéliser la dynamique des populations, où une population pourrait croître, dépasser sa capacité de charge, puis décliner. Elle est également utilisée pour analyser la cinétique enzymatique ou la concentration d'une substance dans le corps au fil du temps.
Ingénierie
En science des matériaux, elle est utilisée pour décrire le comportement contrainte-déformation des matériaux qui présentent des propriétés complexes et non-linéaires sous charge.

Comprendre la Valeur R²

  • Ce que R² Représente
  • Interpréter la Valeur
  • Limitations de R²
Qu'est-ce que le Coefficient de Détermination (R²) ?
La valeur R², ou coefficient de détermination, est une mesure statistique de la proximité des données par rapport à la ligne de régression ajustée. Elle représente la proportion de la variance dans la variable dépendante (Y) qui est prévisible à partir de la variable indépendante (X).
Comment Interpréter R²
R² est exprimé comme une valeur entre 0 et 1. Un R² de 1 indique un ajustement parfait, tandis que 0 indique que le modèle n'explique aucune variabilité. Par exemple, un R² de 0,95 signifie que 95% de la variation en Y peut être expliquée par la relation cubique avec X.
Considérations Importantes
Bien qu'un R² élevé soit bon, cela ne signifie pas nécessairement que le modèle est un bon ajustement. Parfois, les motifs dans les données ne sont pas capturés par le modèle, même avec un R² élevé. Considérez toujours le contexte de vos données et inspectez visuellement l'ajustement si possible.

Dérivation Mathématique

  • Le Système d'Équations
  • Représentation Matricielle
  • Résolution pour les Coefficients
Les coefficients a, b, c et d sont trouvés en résolvant un système de quatre équations linéaires simultanées, connues sous le nom d''équations normales'. Celles-ci sont dérivées en utilisant le calcul pour minimiser la somme des erreurs au carré.
Forme Matricielle
Ce système d'équations peut être élégamment représenté sous forme matricielle comme AX = B, où A est une matrice 4x4 de puissances sommées de X, X est le vecteur des coefficients (a, b, c, d), et B est un vecteur de produits sommés de X et Y.
Le calculateur résout pour X en calculant A⁻¹B, où A⁻¹ est l'inverse de la matrice A. Ce calcul, bien que complexe à faire à la main, est géré efficacement par des bibliothèques de calcul comme math.js.