Régression Polynomiale

Modèles de Régression et de Prédiction

Saisissez vos points de données et le degré polynomial souhaité pour calculer l'équation de régression.

Exemples Pratiques

Explorez différents scénarios pour voir comment fonctionne le Calculateur de Régression Polynomiale.

Ajustement Quadratique (Degré 2)

Quadratique

Une relation quadratique simple, courante en physique pour le mouvement de projectile.

Degré: 2

Points: 0,1; 1,2.5; 2,5; 3,8.5; 4,13

Ajustement Cubique (Degré 3)

Cubique

Modélisation de courbes plus complexes, comme les relations contrainte-déformation des matériaux.

Degré: 3

Points: -2,-10; -1,0; 0,2; 1,4; 2,18

Ajustement de Degré Élevé (Degré 4)

Degré Élevé

Ajustement d'un ensemble de données plus volatil, comme la croissance démographique au fil du temps.

Degré: 4

Points: 1,3; 2,5; 3,4; 4,6; 5,8; 6,7

Ajustement Linéaire Simple (Degré 1)

Linéaire

Une tendance linéaire de base. Le résultat devrait être une équation de ligne droite.

Degré: 1

Points: 1,2; 2,4.1; 3,5.9; 4,8.2; 5,10

Autres titres
Comprendre la Régression Polynomiale : Un Guide Complet
Un aperçu approfondi de la régression polynomiale, ses applications et les mathématiques qui la sous-tendent.

Qu'est-ce que la Régression Polynomiale ?

  • De Linéaire à Polynomial
  • Le Concept Fondamental
  • Pourquoi l'Utiliser ?
La régression polynomiale est un type d'analyse de régression où la relation entre la variable indépendante 'x' et la variable dépendante 'y' est modélisée comme un polynôme de degré n en 'x'. Alors que la régression linéaire modélise les données avec une ligne droite, la régression polynomiale peut ajuster des relations plus complexes et non linéaires en créant une ligne courbe.
L'Équation Polynomiale
La forme générale d'une équation polynomiale de degré 'n' est : y = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ. L'objectif de la régression est de trouver les valeurs optimales pour les coefficients (a₀, a₁, ..., aₙ) qui minimisent l'erreur entre les valeurs 'y' prédites et réelles.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Saisir Vos Données
  • Choisir le Bon Degré
  • Interpréter les Résultats
1. Saisir les Points de Données
Saisissez vos paires de coordonnées (x, y) dans la zone de texte 'Points de Données'. Chaque paire doit être sur une nouvelle ligne (ex : '1, 5') ou séparée par un point-virgule ('1, 5; 2, 8'). Assurez-vous que les données sont propres et correctement formatées.
2. Sélectionner le Degré Polynomial
Choisissez le degré du polynôme que vous voulez ajuster. Un degré de 1 est un ajustement linéaire. Un degré de 2 est quadratique. Des degrés plus élevés créent des courbes plus complexes. Soyez prudent avec les degrés élevés, car ils peuvent conduire à un surapprentissage.
3. Faire des Prédictions
Optionnellement, saisissez une valeur pour 'x' dans le champ de prédiction pour calculer la valeur 'y' correspondante basée sur l'équation résultante.
4. Analyser la Sortie
Le calculateur fournit l'équation de régression, la valeur R-carré et votre valeur 'y' prédite. La valeur R-carré (de 0 à 1) vous indique dans quelle mesure le modèle s'ajuste à vos données.

Applications Réelles

  • Économie et Finance
  • Ingénierie et Physique
  • Biologie et Sciences de l'Environnement
La régression polynomiale est largement utilisée dans divers domaines pour modéliser des phénomènes non linéaires.
Exemples :
  • Taux de Croissance : Modélisation de la croissance des populations, des investissements ou des maladies qui ne suivent pas une tendance linéaire.
  • Science des Matériaux : Analyse de la courbe contrainte-déformation des matériaux.
  • Analyse de Marché : Prédiction des prix des actions ou des tendances de vente qui présentent des modèles cycliques ou courbes.

Pièges Courants et Bonnes Pratiques

  • Le Danger du Surapprentissage
  • Choisir le Degré Optimal
  • Risques d'Extrapolation
Surapprentissage
Utiliser un degré polynomial trop élevé peut conduire à un surapprentissage. Le modèle s'ajustera parfaitement aux données d'entraînement mais échouera à généraliser à de nouvelles données non vues. La valeur R-carré pourrait être élevée, mais le modèle n'est pas utile. Il est souvent préférable de choisir le modèle le plus simple (degré le plus bas) qui décrit adéquatement les données.
Extrapolation
Soyez prudent lors de la prédiction pour des valeurs 'x' loin de la plage de vos données originales. Les modèles polynomialux peuvent se comporter de manière erratique et produire des résultats irréalistes lors de l'extrapolation.

Dérivation Mathématique

  • La Méthode des Moindres Carrés
  • Construction du Système d'Équations
  • Résolution des Coefficients
La Méthode des Moindres Carrés
La régression polynomiale utilise la méthode des moindres carrés pour trouver les coefficients. Cette méthode minimise la somme des carrés des résidus (les différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle). La fonction d'erreur S est : S = Σ(yᵢ - (a₀ + a₁xᵢ + ... + aₙxᵢⁿ))²
Équations Normales
Pour minimiser S, nous prenons la dérivée partielle par rapport à chaque coefficient (a₀, a₁, ..., aₙ) et les définissons à zéro. Cela résulte en un système de (n+1) équations linéaires, connues sous le nom d'équations normales. Ces équations peuvent être exprimées sous forme matricielle comme (XᵀX)A = XᵀY, où X est la matrice de Vandermonde des valeurs x, Y est le vecteur des valeurs y, et A est le vecteur des coefficients que nous voulons trouver. Le calculateur résout ce système pour trouver l'équation d'ajustement optimal.