Régression Quadratique

Modèles de Régression et de Prédiction

Entrez vos points de données sous forme de paires (x, y) pour trouver l'équation quadratique de meilleur ajustement.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour charger les données dans le calculateur.

Mouvement de Projectile

physics

Modélisation de la hauteur d'un objet lancé au fil du temps.

Points de Données: 0,0 1,25 2,40 3,45 4,40 5,25

Courbe de Coût

economics

Analyse de la relation en forme de U entre les unités de production et le coût moyen.

Points de Données: 10,50 20,35 30,25 40,20 50,22 60,30

Croissance de Population

biology

Modélisation d'une population qui croît rapidement puis ralentit en raison de facteurs limitants.

Points de Données: 1,100 2,250 3,420 4,550 5,600 6,580

Contrainte Matérielle

engineering

Examen de la courbe contrainte-déformation pour un matériau particulier sous charge.

Points de Données: 0.1,5 0.2,18 0.3,38 0.4,65 0.5,88

Autres titres
Comprendre la Régression Quadratique : Un Guide Complet
Explorez les principes, applications et mathématiques derrière la recherche de la 'parabole de meilleur ajustement' pour vos données.

Qu'est-ce que la Régression Quadratique ?

  • Définir la Parabole de Meilleur Ajustement
  • Régression Quadratique vs Linéaire
  • Le Rôle de la Méthode des Moindres Carrés
La régression quadratique est une méthode statistique utilisée pour modéliser la relation entre deux variables en ajustant une équation polynomiale du second degré aux données observées. L'objectif est de trouver la parabole (y = ax² + bx + c) qui représente le mieux la tendance dans les points de données. Contrairement à la régression linéaire, qui modélise une relation en ligne droite, la régression quadratique est idéale pour les ensembles de données qui montrent un motif courbe, en forme de U ou de U inversé.
L'Équation Principale
La forme générale de l'équation quadratique est y = ax² + bx + c, où 'y' est la variable dépendante, 'x' est la variable indépendante, et 'a', 'b', et 'c' sont les coefficients qui déterminent la forme et la position de la parabole. Le coefficient 'a' dicte la largeur ou l'étroitesse de la parabole et si elle s'ouvre vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0).
Pourquoi Ne Pas Utiliser Juste une Ligne Droite ?
De nombreux phénomènes du monde réel ne suivent pas une tendance linéaire simple. Par exemple, la hauteur d'un projectile au fil du temps, le profit d'une entreprise à mesure qu'elle s'étend, ou la réponse d'une culture aux engrais augmentent souvent jusqu'à un point maximum puis diminuent. Une ligne droite ne parviendrait pas à capturer ce pic, conduisant à des prédictions inexactes. La régression quadratique fournit un modèle plus flexible qui peut décrire avec précision ces relations courbes.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Entrer Vos Données Correctement
  • Interpréter les Résultats
  • Faire des Prédictions
1. Saisie des Données

Dans la zone de texte 'Points de Données (x,y)', entrez vos paires de coordonnées. Chaque paire doit être sur une nouvelle ligne, avec les valeurs x et y séparées par une virgule. Par exemple, si vous avez les points (1, 5), (2, 11), et (3, 21), vous les entreriez comme : 1,5 2,11 3,21 Vous devez fournir au moins trois points distincts pour définir une parabole unique.

2. Calcul
Une fois vos données entrées, cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil traitera instantanément les points en utilisant la méthode des moindres carrés pour déterminer les coefficients optimaux pour l'équation quadratique.
3. Analyser la Sortie
La section des résultats affichera : L'équation finale (y = ax² + bx + c), les valeurs spécifiques pour les coefficients a, b, et c, et le Coefficient de Détermination (R²). R² est une métrique cruciale, allant de 0 à 1, qui indique la proportion de la variance dans la variable dépendante qui est prévisible à partir de la variable indépendante. Une valeur R² plus élevée signifie un meilleur ajustement.
4. Prédire de Nouvelles Valeurs
Pour utiliser le modèle pour la prédiction, entrez une nouvelle valeur x dans le champ 'Prédire Y pour une valeur X donnée'. Le calculateur substituera cette valeur dans l'équation dérivée pour calculer la valeur y prédite correspondante.

Applications Réelles de la Régression Quadratique

  • Physique et Ingénierie
  • Économie et Finance
  • Biologie et Sciences de l'Environnement
La régression quadratique n'est pas seulement un concept mathématique abstrait ; elle a de nombreuses applications pratiques dans divers domaines.
Physique : Mouvement de Projectile
Le chemin d'un objet lancé dans l'air, sous l'influence de la gravité, suit une trajectoire parabolique. La régression quadratique peut être utilisée pour modéliser ce chemin, prédire la hauteur de l'objet à tout moment donné et déterminer sa hauteur maximale.
Économie : Analyse des Coûts et Revenus
Les entreprises font souvent face à des courbes de coût moyen en forme de U, où les coûts par unité diminuent avec les économies d'échelle avant d'augmenter à nouveau en raison d'inefficacités. De même, les revenus pourraient culminer à un certain point de prix. Les modèles quadratiques aident à identifier le niveau de production qui minimise le coût ou le prix qui maximise les revenus.
Agriculture : Rendement des Cultures
La relation entre la quantité d'engrais utilisée et le rendement des cultures résultant est souvent quadratique. Trop peu d'engrais résulte en un faible rendement, mais trop peut aussi endommager les cultures et diminuer le rendement. La régression aide les agriculteurs à trouver la quantité optimale d'engrais à utiliser.

Dérivation Mathématique et Formules

  • La Méthode des Moindres Carrés
  • Résoudre le Système d'Équations Normales
  • Calculer la Valeur R-Carré
Le 'meilleur ajustement' dans la régression quadratique est obtenu en minimisant la somme des différences au carré entre les valeurs y observées et les valeurs y prédites par le modèle quadratique. C'est ce qu'on appelle la Méthode des Moindres Carrés.
Les Équations Normales

Pour trouver les coefficients a, b, et c qui minimisent cette erreur, nous prenons les dérivées partielles de la somme des erreurs au carré par rapport à a, b, et c, les mettons à zéro, et résolvons le système résultant de trois équations linéaires. Ce sont les équations normales :

  1. (Σy) = c(n) + b(Σx) + a(Σx²)
  2. (Σxy) = c(Σx) + b(Σx²) + a(Σx³)
  3. (Σx²y) = c(Σx²) + b(Σx³) + a(Σx⁴) Où 'n' est le nombre de points de données. Ce système peut être résolu en utilisant l'algèbre matricielle.
Formule R-Carré (R²)

Le Coefficient de Détermination est calculé comme : R² = 1 - (SSres / SStot).

  • SSres (Somme des Carrés des Résidus) est Σ(yᵢ - ŷᵢ)², où ŷᵢ est la valeur prédite par l'équation de régression pour xᵢ. Elle représente l'erreur du modèle.
  • SStot (Somme Totale des Carrés) est Σ(yᵢ - ȳ)², où ȳ est la moyenne de toutes les valeurs y observées. Elle représente la variation totale dans les données. Un modèle qui explique parfaitement les données aurait un SSres de 0 et donc un R² de 1.

Idées Fausses Courantes et Bonnes Pratiques

  • Corrélation vs Causalité
  • Le Danger de l'Extrapolation
  • Choisir le Bon Modèle de Régression
Supposer la Causalité
Une valeur R² élevée indique une forte corrélation et un bon ajustement, mais elle n'implique pas que les changements dans 'x' causent les changements dans 'y'. Il pourrait y avoir une troisième variable non observée influençant les deux. Soyez toujours prudent à propos de revendiquer la causalité basée uniquement sur un résultat de régression.
Extrapoler Au-Delà de la Plage de Données
Un modèle quadratique peut s'ajuster très bien à votre plage de données observées, mais il peut donner des prédictions absurdes pour des valeurs x loin de cette plage. La tendance parabolique ne continuera probablement pas indéfiniment. Utilisez le modèle pour l'interpolation (prédire dans la plage de vos données) mais soyez extrêmement méfiant de l'extrapolation.
Le Quadratique Est-Il Toujours le Meilleur ?
Ne supposez pas qu'un modèle quadratique est nécessaire juste parce qu'un modèle linéaire n'est pas parfait. Visualisez toujours vos données en premier. Parfois, un modèle non-linéaire différent (comme exponentiel ou logarithmique) pourrait être plus approprié, ou les données pourraient ne pas avoir de motif clair du tout. Ajouter de la complexité à un modèle (comme passer du linéaire au quadratique) quand ce n'est pas justifié peut mener au surapprentissage, où le modèle s'ajuste au bruit dans vos données plutôt qu'à la tendance sous-jacente.