Paradoxe des Deux Enveloppes

Une énigme fascinante en probabilité et théorie de la décision. Entrez un montant que vous voyez dans une enveloppe, et nous analyserons le résultat attendu si vous changez.

Scénarios d'Exemple

Voyez comment le paradoxe fonctionne avec différents montants initiaux.

Scénario 1 : Trouver 20€

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Vous ouvrez une enveloppe et trouvez 20€. Devriez-vous changer ?

Montant: 20

Scénario 2 : Trouver 500€

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Un jeu à enjeux élevés où votre enveloppe contient 500€.

Montant: 500

Scénario 3 : Un Petit Montant

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Et si l'enveloppe ne contient que 4€ ?

Montant: 4

Scénario 4 : Une Grande Somme

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Imaginez trouver 10 000€ dans l'enveloppe. La logique suggère encore de changer.

Montant: 10000

Autres titres
Comprendre le Paradoxe des Deux Enveloppes : Un Guide Complet
Plongez dans les profondeurs de l'une des énigmes les plus contre-intuitives de la théorie des probabilités. Ce guide explore la configuration, la logique défaillante et les résolutions acceptées.

Qu'est-ce que le Paradoxe des Deux Enveloppes ?

  • La Configuration de Base
  • L'Argument 'Toujours Changer'
  • Pourquoi Cela Semblerait Incorrect
Le Paradoxe des Deux Enveloppes, également connu sous le nom de paradoxe d'échange, est une énigme qui expose les failles du raisonnement intuitif sur les probabilités. Il implique un scénario simple : deux enveloppes indiscernables, l'une contenant un certain montant d'argent (A), et l'autre contenant le double de ce montant (2A). Vous êtes autorisé à choisir une enveloppe, et vous pouvez soit garder l'argent à l'intérieur, soit changer pour l'autre enveloppe. La question est : quelle est la stratégie optimale ?
L'Argument 'Toujours Changer'
Supposons que vous choisissiez une enveloppe et trouviez X€ à l'intérieur. Le paradoxe naît du raisonnement suivant. L'autre enveloppe doit contenir soit 2X€ soit X/2€. Puisque vous n'aviez aucune information préalable, vous supposez qu'il y a 50% de chance pour chaque cas. Vous pouvez alors calculer la valeur attendue du changement : E = 0,5 (2X€) + 0,5 (X/2€) = 1,25X€. Puisque 1,25X€ est supérieur à votre X€ actuel, il semble que vous devriez toujours changer. Mais ce raisonnement peut être appliqué symétriquement, quel que soit le montant, ce qui mène à une contradiction.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Entrer Votre Valeur
  • Interpréter les Résultats
  • Utiliser les Exemples
Notre calculateur est conçu pour démontrer la logique défaillante qui crée le paradoxe. C'est un outil éducatif pour vous aider à visualiser le problème.
1. Entrer Votre Valeur (X)
Dans le champ 'Montant dans Votre Enveloppe (X)', saisissez n'importe quel nombre positif. Cela représente le montant d'argent que vous avez trouvé dans l'enveloppe que vous avez hypothétiquement choisie.
2. Interpréter les Résultats
Après avoir cliqué sur 'Analyser le Paradoxe', le calculateur vous montrera la valeur attendue de l'autre enveloppe basée sur l'argument paradoxal standard, mais défaillant. Il montre explicitement la formule utilisée et la conclusion qu'on devrait toujours changer. Crucialement, il affiche aussi un avertissement expliquant que c'est un paradoxe et pourquoi la logique n'est pas solide dans un scénario réel.

Idées Fausses Communes et Méthodes Correctes

  • Le Défaut de l'A Priori Inconnu
  • La Confusion 'A' vs 'X'
  • Résolution Bayésienne
Le cœur du paradoxe réside dans une erreur mathématique subtile. Le calcul simple de la valeur attendue n'est pas applicable de la manière dont il est présenté.
Le Défaut : Les Variables ne Sont Pas les Mêmes
L'erreur est dans la configuration du calcul de la valeur attendue. Soit A le montant le plus petit. Votre enveloppe X est une variable aléatoire, qui peut être soit A soit 2A. Le montant dans l'autre enveloppe, Y, dépend de X. Si X=A, alors Y=2A. Si X=2A, alors Y=A. Le calcul E(Y|X=x) = 1,25x est incorrect car les deux valeurs 'X' dans la formule (2X et X/2) sont conditionnées sur différents états sous-jacents du monde. Le 'X' si vous détenez le montant le plus petit n'est pas la même valeur que le 'X' si vous détenez le montant le plus grand.
Résolution : Utiliser une Distribution de Probabilité Appropriée
Une résolution clé implique de réaliser que le montant d'argent, A, ne peut pas être sélectionné à partir d'une distribution de probabilité uniforme sur tous les nombres positifs (une telle distribution n'existe pas). Dans tout scénario réaliste, il y a une distribution de probabilité p(a) pour la façon dont le montant initial A a été choisi. Une fois que vous définissez une distribution a priori appropriée pour A, vous pouvez utiliser le raisonnement bayésien. Pour un montant observé donné X, vous pouvez calculer la probabilité a posteriori de savoir si vous détenez A ou 2A. Cela mène souvent à une conclusion où changer n'est pas toujours la meilleure stratégie. Par exemple, si vous voyez un montant d'argent extrêmement élevé, il est plus probable que vous déteniez l'enveloppe 2A.

Applications Réelles de la Pensée Paradoxale

  • Marché Boursier et Investissements
  • Prise de Décision sous Incertitude
  • Recherche Scientifique
Bien que le Paradoxe des Deux Enveloppes soit un casse-tête, les principes qu'il explore ont des implications sérieuses pour la prise de décision dans le monde réel.
Décisions Financières
En investissement, on pourrait être confronté à un choix de s'en tenir à un actif connu ou de changer vers un actif inconnu avec des rendements potentiellement plus élevés. Le paradoxe nous enseigne à être méfiants envers les arguments basés sur la 'valeur attendue' qui ne tiennent pas compte des distributions de probabilité sous-jacentes et des informations cachées potentielles.
Évaluer l'Information
Le problème est une excellente leçon de pensée critique. Il montre comment un argument apparemment logique peut être construit sur une prémisse défaillante. Ceci est crucial lors de l'évaluation de propositions, d'informations ou de données qui pourraient être présentées de manière trompeuse.