La fondation mathématique de la probabilité de pile ou face repose sur la combinatoire, la théorie de la distribution binomiale et les concepts statistiques avancés qui fournissent des outils analytiques précis pour les scénarios de probabilité complexes.
Dérivation du Coefficient Binomial :
Le coefficient binomial C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi n éléments sans tenir compte de l'ordre. Dans les lancers de pièce, cela compte le nombre de séquences avec exactement k piles dans n lancers.
Par exemple, C(4,2) = 4!/(2!2!) = 6 représente les six façons d'obtenir exactement 2 piles dans 4 lancers : PPFF, PFPF, PFFP, FPPF, FPFP, FFPP.
La formule complète de probabilité binomiale P(X = k) = C(n,k) × (0,5)^n tient compte à la fois du nombre de séquences favorables et de la probabilité de chaque séquence spécifique se produisant.
Approximation Normale pour les Grands Échantillons :
Lorsque n est grand (typiquement n > 30), la distribution binomiale s'approche d'une distribution normale avec moyenne μ = np et variance σ² = np(1-p). Pour les pièces équilibrées, μ = n/2 et σ² = n/4.
Cette approximation utilise le Théorème Central Limite et permet un calcul efficace des probabilités en utilisant les scores z : Z = (X - μ)/σ, où X est le nombre de piles observées.
La correction de continuité améliore la précision de l'approximation en traitant les valeurs discrètes comme continues : P(X = k) ≈ P(k-0,5 < X < k+0,5) dans la distribution normale.
Calculs de Probabilité Avancés :
Les probabilités cumulatives P(X ≤ k) nécessitent la sommation des probabilités individuelles : P(X ≤ k) = Σ(i=0 à k) C(n,i) × (0,5)^n. Pour de grands n, cela devient intensif en calcul sans approximation normale.
Les probabilités de queue P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) fournissent souvent des chemins de calcul plus efficaces, surtout quand k est proche de n.
Les intervalles de confiance pour la vraie probabilité p peuvent être construits en utilisant la proportion observée p̂ = X/n et l'erreur standard SE = √(p̂(1-p̂)/n), fournissant des bornes pour le biais réel de la pièce.
Test d'Hypothèse Statistique :
Tester l'équité d'une pièce implique l'hypothèse nulle H₀ : p = 0,5 contre l'alternative H₁ : p ≠ 0,5. La statistique de test Z = (p̂ - 0,5)/√(0,25/n) suit une distribution normale standard sous H₀.
Les valeurs critiques dépendent du niveau de signification choisi α (commonly 0,05), avec les régions de rejet déterminées par |Z| > Z{α/2}, où Z{0,025} ≈ 1,96 pour α = 0,05.