Calculateur du Paradoxe de Bertrand - Résoudre les Problèmes de Probabilité Conditionnelle

Qu'est-ce que le Paradoxe de Bertrand ?

Les Origines du Paradoxe
Fondation Mathématique
Pourquoi C'est Contre-Intuitif

Le Paradoxe de Bertrand, décrit pour la première fois par Joseph Bertrand en 1889, est un problème classique de la théorie des probabilités qui démontre comment notre intuition sur la probabilité conditionnelle peut être trompeuse. Le paradoxe implique trois boîtes avec différentes configurations de boules d'or et d'argent, et nous demande de calculer la probabilité qu'une deuxième boule soit dorée, étant donné que la première boule tirée était dorée.

La Configuration Classique

Dans la formulation originale, il y a trois boîtes : la Boîte 1 contient deux boules d'or, la Boîte 2 contient une boule d'or et une boule d'argent, et la Boîte 3 contient deux boules d'argent. Une boîte est choisie au hasard, puis une boule est tirée de cette boîte. Si la première boule est dorée, quelle est la probabilité que la deuxième boule de la même boîte soit aussi dorée ?

Beaucoup de gens pensent initialement que la réponse est 1/2 (50%), en raisonnant que puisque nous savons que la boule provient soit de la Boîte 1 soit de la Boîte 2 (la Boîte 3 est éliminée), et que celles-ci semblent également probables, il y a 50% de chances qu'elle provienne de la Boîte 1 (ce qui rendrait la deuxième boule définitivement dorée) et 50% de chances qu'elle provienne de la Boîte 2 (ce qui rendrait la deuxième boule définitivement argentée).

Configurations Classiques des Boîtes

Boîte 1 : OO (2 boules d'or)
Boîte 2 : OA (1 or, 1 argent)
Boîte 3 : AA (2 boules d'argent)

Guide Étape par Étape pour Résoudre le Paradoxe

Application du Théorème de Bayes
Calcul de Probabilité Conditionnelle
Idées Fausses Communes

L'Approche Mathématique Correcte

L'idée clé est que toutes les boules d'or ne sont pas également susceptibles d'être tirées. La Boîte 1 a deux boules d'or, donc il y a deux façons de tirer une boule d'or de celle-ci, tandis que la Boîte 2 n'a qu'une seule boule d'or, donc il n'y a qu'une seule façon de tirer une boule d'or de celle-ci. Cela signifie que étant donné que nous avons tiré une boule d'or, il est deux fois plus probable qu'elle provienne de la Boîte 1.

En utilisant le théorème de Bayes, nous pouvons calculer : P(Boîte 1 | Boule d'or tirée) = P(Boule d'or | Boîte 1) × P(Boîte 1) / P(Boule d'or). Puisque chaque boîte est également susceptible d'être choisie initialement (probabilité 1/3), et que la probabilité de tirer de l'or de la Boîte 1 est 1, de la Boîte 2 est 1/2, et de la Boîte 3 est 0, nous obtenons :

P(Boule d'or) = (1/3 × 1) + (1/3 × 1/2) + (1/3 × 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2

Par conséquent : P(Boîte 1 | Boule d'or) = (1 × 1/3) / (1/2) = 2/3, et P(Boîte 2 | Boule d'or) = (1/2 × 1/3) / (1/2) = 1/3

Puisque la deuxième boule est définitivement dorée si nous sommes dans la Boîte 1 et définitivement argentée si nous sommes dans la Boîte 2, la probabilité que la deuxième boule soit dorée est 2/3 × 1 + 1/3 × 0 = 2/3 ou environ 66,67%.

Résultats de Probabilité Clés

P(Deuxième boule est dorée) = 2/3 ≈ 66,67%
P(Boîte 1 | Or tiré) = 2/3
P(Boîte 2 | Or tiré) = 1/3

Applications Réelles du Paradoxe de Bertrand

Diagnostic Médical et Tests
Contrôle Qualité en Fabrication
Évaluation des Risques Financiers

Applications Médicales

Les principes derrière le Paradoxe de Bertrand sont cruciaux dans le diagnostic médical. Quand un patient teste positif pour une maladie, la probabilité qu'il ait réellement la maladie dépend non seulement de la précision du test, mais aussi de la prévalence de la maladie dans la population. C'est exactement analogue à la façon dont la probabilité de tirer de la Boîte 1 dépend des nombres relatifs de boules d'or dans chaque boîte.

Contrôle Qualité

En fabrication, quand un produit défectueux est trouvé, déterminer de quelle ligne de production il provient nécessite un raisonnement de probabilité conditionnelle similaire. Si différentes lignes de production ont des taux de défauts différents, la ligne avec des taux de défauts plus élevés est plus susceptible d'être la source de tout article défectueux particulier.

Ce paradoxe apparaît aussi dans l'apprentissage automatique et la science des données, particulièrement dans les problèmes de classification où nous devons comprendre la probabilité a posteriori d'appartenance à une classe étant donné les caractéristiques observées.

Applications Pratiques

Diagnostic de maladie avec des résultats de test positifs
Identification de la source de défauts en fabrication
Algorithmes de classification en apprentissage automatique

Idées Fausses Communes et Méthodes Correctes

Le Sophisme d'Équiprobabilité
Importance de l'Information A Priori
Vérification par Monte Carlo

Pourquoi l'Intuition Échoue

L'erreur la plus commune est d'assumer que la Boîte 1 et la Boîte 2 sont des sources également probables de la boule d'or. Cette hypothèse d'équiprobabilité ignore le fait que la Boîte 1 a deux fois plus de boules d'or que la Boîte 2, la rendant une source plus probable de toute boule d'or tirée au hasard.

Une autre idée fausse est de penser à cela comme un simple choix 50-50 entre deux boîtes restantes. L'idée clé est que nous ne choisissons pas entre des boîtes ; nous mettons à jour nos croyances sur quelle boîte nous avons tirée basées sur l'évidence (la boule d'or).

Vérification par Simulation

Les simulations de Monte Carlo fournissent un excellent moyen de vérifier le résultat théorique. En exécutant des milliers d'essais où nous sélectionnons aléatoirement des boîtes, tirons des boules et suivons les résultats, nous pouvons démontrer empiriquement que la probabilité converge vers 2/3 plutôt que 1/2.

Théorie vs. Intuition

Probabilité théorique : 66,67%
Résultats de simulation typiques : 66,5% - 66,8%
Réponse intuitive (incorrecte) : 50%

Dérivation Mathématique et Exemples Avancés

Application Formelle du Théorème de Bayes
Configurations de Boîtes Généralisées
Connexion à D'Autres Paradoxes

Traitement Mathématique Formel

Définissons les événements formellement : Soit B₁, B₂, B₃ représentent les événements que la Boîte 1, 2, ou 3 a été choisie, et soit G représente l'événement qu'une boule d'or a été tirée. Nous voulons trouver P(deuxième boule est dorée | G).

En utilisant la loi de probabilité totale : P(G) = P(G|B₁)P(B₁) + P(G|B₂)P(B₂) + P(G|B₃)P(B₃) = 1·(1/3) + (1/2)·(1/3) + 0·(1/3) = 1/2

Par le théorème de Bayes : P(B₁|G) = P(G|B₁)P(B₁)/P(G) = (1·1/3)/(1/2) = 2/3, et P(B₂|G) = P(G|B₂)P(B₂)/P(G) = (1/2·1/3)/(1/2) = 1/3

Généralisation à n Boîtes

Le paradoxe peut être étendu à n'importe quel nombre de boîtes avec des configurations arbitraires. Le principe clé reste le même : les boîtes avec plus de boules d'or sont des sources plus probables de toute boule d'or observée, proportionnellement à leur nombre de boules d'or.

Pour n boîtes avec gᵢ boules d'or et sᵢ boules d'argent dans la boîte i, si nous observons une boule d'or, la probabilité qu'elle provienne de la boîte j est : P(Bⱼ|G) = gⱼ / Σᵢ₌₁ⁿ gᵢ

Formules Mathématiques

P(B₁|G) = 2/3 en utilisant le théorème de Bayes
P(B₂|G) = 1/3 en utilisant le théorème de Bayes
Formule générale : P(Bⱼ|G) = gⱼ / Σgᵢ

Paradoxe de Bertrand Original

Configuration Symétrique

Problème de Boîtes Étendu

Paradoxe Minimal