毕达哥拉斯三元组计算器 - 生成与理解三元组

什么是毕达哥拉斯三元组？

核心概念
与毕达哥拉斯定理的联系
本原与非本原三元组

毕达哥拉斯三元组是一组三个正整数 (a, b, c)，满足著名的毕达哥拉斯定理：a² + b² = c²。这些三元组代表直角三角形的三条边，其中 a 和 b 是两条直角边，c 是斜边。

与毕达哥拉斯定理的联系

该定理是欧几里得几何中的基本原理，指出斜边所对应正方形的面积等于另外两边所对应正方形面积之和。毕达哥拉斯三元组是三条边均为整数的特殊情况，是数论中的有趣课题。

本原与非本原三元组

如果 a、b、c 互质（最大公约数为 1），则为本原三元组。经典例子 (3, 4, 5) 就是本原三元组。非本原三元组是本原三元组的倍数，例如 (3, 4, 5) 乘以 2 得到 (6, 8, 10)。本计算器专注于生成本原三元组，您也可以通过倍数扩展得到非本原三元组。

三元组示例

本原: (3, 4, 5) -> gcd(3,4,5) = 1
非本原: (6, 8, 10) -> gcd(6,8,10) = 2

欧几里得公式：生成三元组的关键

公式本身
m 和 n 的条件
如何生成三元组

最常用的生成毕达哥拉斯三元组的方法是欧几里得公式，本计算器正是基于此。该公式使用两个正整数 m 和 n，并有一些特定条件。

公式本身

对于任意两个正整数 m 和 n，且 m > n，可按如下方式生成三元组 (a, b, c)：

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

m 和 n 的条件

要生成本原三元组，m 和 n 必须满足三个条件：(1) m 和 n 互质；(2) m > n；(3) m 和 n 一奇一偶。如果最后一个条件不满足（即都为奇数），则结果为本原三元组的两倍。

生成 (3, 4, 5)

设 m = 2, n = 1。
a = 2² - 1² = 4 - 1 = 3
b = 2 * 2 * 1 = 4
c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

计算器使用步骤详解

输入整数
解读结果
重置进行新计算

输入整数 (m 和 n)

计算器需要两个输入：m 和 n。根据欧几里得公式，您必须输入正整数且 m > n。例如，若要计算 m=2, n=1 生成的三元组，在第一个输入框输入 2，第二个输入框输入 1。

解读结果

点击“计算三元组”后，工具会显示结果 (a, b, c) 及详细计算过程。例如 m=2, n=1 时，结果为 (3, 4, 5)。

使用示例

如果不确定如何开始，可使用提供的示例。点击示例会自动填充输入框，帮助您快速了解不同输入如何生成不同三元组。

输入输出示例

输入: m = 3, n = 2
输出: (a, b, c) = (5, 12, 13)

实际应用场景

建筑与施工
导航与测量
计算机图形与游戏设计

虽然常被视为纯学术话题，毕达哥拉斯三元组在多个领域有实际应用。

建筑与施工

建筑师和工人常用 3-4-5 法则（即 (3, 4, 5) 三元组的倍数）来确保角度为 90 度。沿一边量 3 单位，另一边量 4 单位，对角线应为 5 单位，即为直角。

导航与测量

在导航中，毕达哥拉斯定理用于根据南北和东西方向的移动计算两点间最短距离。测量员用其确定地界和坡度。

计算机图形与游戏设计

在 2D 和 3D 图形中，计算对象间距离是碰撞检测、光照和物理模拟的基础。毕达哥拉斯定理（以及整数网格系统中的三元组）在这些距离计算中至关重要。

数学推导与性质

欧几里得公式证明
三元组性质
与复数的联系

欧几里得公式的优美之处可通过将其代入毕达哥拉斯定理来证明。

欧几里得公式证明

需证明 (m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²。展开左边得：m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴，等于右边，公式成立。

毕达哥拉斯三元组的性质

在任一本原三元组中，a 或 b 为奇数，另一个为偶数，c 总为奇数。此外，a、b、c 中恰有一个能被 3 整除，恰有一个能被 4 整除，恰有一个能被 5 整除。这使其成为数论研究的热点。

基本三元组 (3, 4, 5)

m=3, n=2 生成的三元组

m=4, n=1 生成的三元组

m=4, n=3 生成的三元组