半角计算器在线 | 三角函数半角公式工具

什么是半角公式？数学基础与概念

半角公式表达半角的三角函数
通过代数变换由倍角公式推导而来
是简化三角表达式和解方程的重要工具

半角公式是基本的三角恒等式，可以让我们求出已知角度一半的三角函数精确值。这些公式在高等数学、物理和工程应用中不可或缺。

主要半角公式有：sin²(θ/2) = (1 - cos θ)/2，cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2，tan²(θ/2) = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)。正负号取决于 θ/2 所在的象限。

这些公式由倍角恒等式 cos(2α) = 1 - 2sin²(α) = 2cos²(α) - 1 推导而来。令 α = θ/2，解出 θ/2 的三角函数即可得到半角公式。

半角公式不仅用于基础计算，在微积分积分技巧、物理波动分析、工程信号处理等领域也极为重要。

常用半角公式示例

sin(15°) = sin(30°/2) = √[(1 - cos 30°)/2] = √[(1 - √3/2)/2]
cos(π/8) = cos(π/4 ÷ 2) = √[(1 + cos π/4)/2] = √[(1 + √2/2)/2]
tan(22.5°) = tan(45°/2) = (1 - cos 45°)/(1 + cos 45°) = (1 - √2/2)/(1 + √2/2)
60° 的半角：sin(30°) = √[(1 - cos 60°)/2] = √[(1 - 1/2)/2] = 1/2

半角计算器使用分步指南

掌握输入方法和单位换算
理解象限选择与正负号判定
正确解读结果并有效验证计算

我们的半角计算器采用经过数学验证的公式，支持度和弧度两种单位，计算精确。

输入指南：

角度输入：可输入任意实数角度，支持正负和小数。

单位选择：可选度（0°-360°）或弧度（0-2π），计算器自动处理转换。

象限选择：选择 θ/2 的象限或自动主值，决定结果正负。

象限说明：

第一象限（0°-90°）：所有三角函数为正

第二象限（90°-180°）：仅正弦和余割为正

第三象限（180°-270°）：仅正切和余切为正

第四象限（270°-360°）：仅余弦和正割为正

结果解读：

主函数：sin(θ/2)、cos(θ/2)、tan(θ/2) 通过半角公式计算

倒数函数：sec(θ/2)、csc(θ/2)、cot(θ/2) 由主函数取倒数得出

实用计算器用例

输入：60°，自动 → 半角：30°，sin(30°) = 0.5，cos(30°) = 0.866
输入：π/2 弧度，第一象限 → 半角：π/4，tan(π/4) = 1
输入：150°，第二象限 → 半角：75°，第一象限全为正
输入：-45°，自动 → 半角：-22.5°，结果在第四象限

半角公式的实际应用

物理：波动力学与振动分析
工程：信号处理与控制系统
数学：积分技巧与方程求解
计算机图形学：旋转计算与动画

半角公式在各类科学和工程领域有广泛应用：

物理应用：

波动分析：半角公式用于分析波的干涉和振动系统的相位关系。

量子力学：用于计算概率幅和波函数变换。

光学：分析偏振效应和反射/折射角。

工程应用：

信号处理：半角公式在数字滤波器设计和频域分析中很重要。

控制系统：用于反馈系统的稳定性分析和控制器设计。

机械工程：用于旋转机械的应力分布和振动分析。

数学应用：

微积分积分：半角代换简化复杂三角积分。

微分方程：用于解三角微分方程和边值问题。

行业应用

单摆运动：θ(t) = θ₀ cos(ωt)，小振幅分析用半角公式
交流电路分析：RLC 电路相位关系用半角恒等式
计算机图形学：3D 旋转矩阵用半角旋转
建筑设计：计算屋顶角度和结构载荷分布

常见误区与正确方法

避免象限判定符号错误
理解何时用半角/倍角公式
注意定义域限制和无定义值

使用半角公式时需注意常见陷阱，否则容易出错。

符号判定错误：

误区：认为半角结果的正负与原角三角函数一致。

正确方法：应根据 θ/2 的象限判定三角函数正负。

公式应用错误：

误区：本应用倍角公式时却用半角公式。

正确方法：已知 θ 求 θ/2 用半角公式，已知 θ/2 求 θ 用倍角公式。

定义域与取值范围：

误区：忽略正切和余切的无定义点。

正确方法：tan(θ/2) 在 θ/2 = (2n+1)π/2 时无定义，cot(θ/2) 在 θ/2 = nπ 时无定义。

计算精度：

误区：多步计算中过早四舍五入。

正确方法：全程保持高精度，仅在最终结果时四舍五入。

常见错误防范

正确：θ = 120°，θ/2 = 60° 在第一象限，sin(60°) > 0
错误：认为 sin(120°/2) 与 sin(120°) 同号
正确：tan(90°/2) = tan(45°) = 1，并非无定义
验证：sin²(θ/2) + cos²(θ/2) = 1 恒成立

数学推导与高级示例

从倍角公式逐步推导
等价变形与替代表达
微积分与分析中的高级应用

理解半角公式的数学推导有助于加深理解和应用信心。

推导过程：

从倍角公式 cos(2α) = 1 - 2sin²(α) 出发，令 α = θ/2，则 cos(θ) = 1 - 2sin²(θ/2)。

解出 sin²(θ/2)：2sin²(θ/2) = 1 - cos(θ)，即 sin²(θ/2) = (1 - cos(θ))/2。

开方得：sin(θ/2) = ±√[(1-cos(θ))/2]，正负号取决于 θ/2 的象限。

等价变形：

正切半角：tan(θ/2) = sin(θ)/(1 + cos(θ)) = (1 - cos(θ))/sin(θ)

魏尔斯特拉斯代换：t = tan(θ/2)，则 sin(θ) = 2t/(1+t²)，cos(θ) = (1-t²)/(1+t²)

高级应用：

积分：∫ 1/(1 + cos(x)) dx 用 u = tan(x/2) 代换简化

复分析：半角公式结合欧拉公式可推广到复数域

级数展开：半角函数的泰勒级数可用于小角度近似

高级数学示例

证明：sin(θ/2) = ±√[(1-cos(θ))/2]，用 cos(2α) = 1 - 2sin²(α)
验证：tan(15°) = 2 - √3，利用 tan(30°/2) 公式
积分：∫ sec²(x/2) dx = 2tan(x/2) + C，半角代换法
复数：z = e^(iθ)，半角公式得 z^(1/2) = e^(iθ/2)

30° 半角

π/3 弧度半角

120° 第二象限

3π/4 弧度（135°）