毕达哥拉斯定理计算器 | 立即求斜边或直角边

什么是毕达哥拉斯定理？

核心公式：a² + b² = c²
理解直角三角形的各部分
定理简史

毕达哥拉斯定理是欧几里得几何中的基本原理，描述了直角三角形三条边之间的关系。直角三角形是指有一个角为 90 度的三角形。

公式

该定理的代数表达式为：a² + b² = c²。其中 a 和 b 表示两条较短的直角边，c 表示最长的斜边。斜边总是直角的对边。

这个强大的公式可以让你在已知两条边的情况下，求出第三条边的长度。

常见毕达哥拉斯三元组

3, 4, 5（因为 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²）
5, 12, 13（因为 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²）
8, 15, 17（因为 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²）

计算器使用分步指南

选择要求解的边
输入已知边长
理解结果与步骤

我们的计算器简化了毕达哥拉斯定理的应用流程。使用方法如下：

1. 选择要求解的边

首先使用“要求解的边”下拉菜单，选择你需要计算的 a、b 或 c。

2. 输入已知边长

计算器会显示需要输入的两条边。例如要求解 c 时，需要输入 a 和 b 的值。请输入正数。

3. 计算并查看结果

点击“计算”按钮，工具会立即显示未知边的长度，并附详细的分步推导。

计算场景

求斜边 c：公式为 c = √(a² + b²)。
求直角边 a：公式为 a = √(c² - b²)。注意 c 必须大于 b。
求直角边 b：公式为 b = √(c² - a²)。注意 c 必须大于 a。

毕达哥拉斯定理的实际应用

建筑与施工
导航与测量
设计与图形

毕达哥拉斯定理不仅仅是学术练习，每天都在实际问题中应用。

建筑与施工

建筑师和工人用该定理确保角度为直角。例如测量 3 英尺和 4 英尺的两边，斜边应为 5 英尺，以确保为 90 度角。

导航

飞行员和船长可用该定理计算两点间最短距离。如果分别向东和向北行进一定距离，直线距离即为斜边。

视频游戏与图形

在计算机图形学中，计算二维屏幕上两点间距离常用毕达哥拉斯定理，这对于碰撞检测、角色移动等非常重要。

应用示例

梯子靠墙形成直角三角形。墙高 12 英尺，梯底离墙 5 英尺，则梯长为 13 英尺。
电视屏幕的尺寸为对角线长度。宽 40 英寸、高 30 英寸的屏幕，对角线为 50 英寸。

常见误区与正确方法

不能用于非直角三角形
混淆直角边与斜边
忘记最后一步开方

虽然强大，但毕达哥拉斯定理有时会被误用。了解这些常见错误有助于确保结果正确。

误区一：用于任意三角形

最重要的规则是毕达哥拉斯定理只适用于直角三角形。其他三角形需用正弦定理或余弦定理。

误区二：混淆 c 与 a 或 b

斜边 c 始终是最长边，且必须单独在等式一侧。求直角边时，必须用斜边的平方减去另一条直角边的平方（如 c² - b²），不能反过来。斜边必须大于任一直角边。

误区三：忘记最后一步

常见错误是只算出 a² + b² 却忘了开方。记住，公式给出的是 c²，不是 c。

纠正示例

错误：a=3，c=5。计算 b = √(3² + 5²) 是错的。
正确：a=3，c=5。计算 b = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4。

数学推导与证明

欧几里得重排几何证明
代数证明
与距离公式的关系

毕达哥拉斯定理有数百种证明方法，主要分为几何证明（利用面积）和代数证明。

重排法证明

最直观的证明之一是用边长为 (a+b) 的大正方形，内部放置四个全等直角三角形和一个边长为 c 的小正方形。总面积可表示为 (a+b)²，也可表示为四个三角形面积（4 × 1/2 × a × b）加上小正方形面积（c²）。两者相等并化简后可得 a² + b² = c²。

距离公式

毕达哥拉斯定理也是坐标几何中距离公式的基础。两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离 d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)，即 a 和 b 分别为横纵坐标差。

证明相关概念

外部正方形面积：(a+b)² = a² + 2ab + b²
内部部分面积：4(½ab) + c² = 2ab + c²
等式化简：a² + 2ab + b² = 2ab + c² => a² + b² = c²

求斜边 c

求直角边 a

求直角边 b

小数值示例