在线部分分式分解计算器

什么是部分分式分解？

分解复杂有理表达式。
微积分和工程中的关键技术。
简化分式以便分析。

部分分式分解是代数中的一种方法，用于将有理函数（两个多项式的分式）表示为更简单分式的和。这一技术非常有用，因为这些更简单的分式通常更易于处理，尤其是在积分或拉普拉斯反变换时。

要进行分解，分子的多项式次数必须小于分母的多项式次数。如果不是，必须先进行多项式长除法。

部分分式的形式

部分分式分解的形式完全取决于分母的因子。主要情况有：

• 不同线性因子：每个因子 (ax+b) 分解式中包含一项 A/(ax+b)。

• 重复线性因子：每个因子 (ax+b)^k，分解式中包含 A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₖ/(ax+b)ᵏ。

• 不可约二次因子：每个因子 (ax²+bx+c)，分解式中包含 (Ax+B)/(ax²+bx+c)。

常见分解形式

1 / (x-2)(x+1) -> A/(x-2) + B/(x+1)
x / (x-3)^2 -> A/(x-3) + B/(x-3)^2

计算器使用分步指南

正确输入多项式。
解读计算结果。
使用示例快速上手。

我们的计算器简化了分解过程。按照以下简单步骤即可获得结果。

输入多项式

在各自的输入框中输入分子和分母多项式。变量用 'x' 表示。指数用插入符号 '^' 表示。例如：'2x^2 + 3x - 5'。

计算与结果

输入多项式后，点击“计算”按钮。工具会显示分解后的部分分式。如果输入有误，如分子次数过高，会有错误提示。

使用示例

分子：'x'，分母：'x^2 - 1'
结果：0.5/(x-1) + 0.5/(x+1)

实际应用场景

解决微积分中的复杂积分。
分析工程中的控制系统。
物理和化学建模。

部分分式分解不仅仅是学术练习，它有许多实际应用。

微积分与积分

最常见的应用是在微积分中，求有理函数的积分。通过分解为更简单的部分，每一部分都可以用基本积分法则（如对数法则或幂法则）积分。

工程与控制理论

在控制系统工程中，传递函数通常是复变量 's' 的有理函数。分解这些函数是分析系统行为和设计控制器的关键步骤。与拉普拉斯反变换结合使用，可求系统的时域响应。

应用示例

∫(5x-4)/(x^2-x-2) dx
求 F(s) = (s+1)/(s^2+3s+2) 的拉普拉斯反变换

常见误区与正确方法

处理不真分式。
正确写出分解式。
求解未知系数。

手动进行部分分式分解时有几个常见陷阱。

不真分式

常见错误是直接分解不真有理函数（分子次数大于等于分母次数）。正确做法是先进行多项式长除法。

求解系数

设定好分解式后，可以通过代入 x 的特定值（如分母的根）或展开表达式并对齐各次幂的系数来求解未知数。前者更快，称为 Heaviside 覆盖法，适用于不同线性根。

修正示例

对于 (x^3)/(x^2-1)，先除法得到 x + x/(x^2-1)，再分解余式。
求 A/(x-r) 中的 A，先乘以 (x-r) 再令 x=r。

数学推导与理论

分解理论基础。
存在性与唯一性证明。
Heaviside 覆盖法详解。

有理函数可以分解为唯一的部分分式，这是代数中的一个定理。

Heaviside 覆盖法

对于分母为不同线性因子的真有理函数 P(x)/Q(x)，分解式为 A₁/(x-r₁) + ... + Aₙ/(x-rₙ)。Aₖ 可通过在原式中“遮盖” (x - rₖ) 并令 x = rₖ 求得。

数学表达为 Aₖ = P(rₖ) / Q'(rₖ)，Q'(x) 为 Q(x) 的导数。这为求系数提供了快捷方法，无需解大型线性方程组。

方法示例

求 1/((x-2)(x+1)) = A/(x-2) + B/(x+1) 中的 A，A = 1/(2+1) = 1/3。

不同线性因子

三次不同线性因子

常数分子

高次分子