叉积计算器 | 3D向量叉积和向量运算工具

什么是叉积？数学基础和向量运算

叉积创建垂直于两个输入向量的向量
3D向量数学和物理学中的基本运算
计算扭矩、角动量和表面法向量的基础

叉积（也称为向量积）是三维空间中两个向量上的二元运算，产生垂直于两个输入向量的向量。与产生标量的点积不同，叉积产生具有模长和方向的向量。

数学定义

对于向量A = (Ax, Ay, Az)和B = (Bx, By, Bz)，叉积A × B计算为：A × B = (Ay·Bz - Az·By, Az·Bx - Ax·Bz, Ax·By - Ay·Bx)。这个公式可以使用3×3矩阵的行列式来记忆。

几何解释

叉积的模长等于由两个向量形成的平行四边形的面积：|A × B| = |A| |B| sin(θ)，其中θ是向量之间的夹角。当向量平行时，sin(θ) = 0，使叉积为零向量。

右手定则

叉积的方向遵循右手定则：将手指指向第一个向量的方向，向第二个向量弯曲，拇指指向叉积的方向。

基本叉积示例

i × j = k（标准单位向量）
平行向量：(1,2,3) × (2,4,6) = (0,0,0)
垂直向量：(1,0,0) × (0,1,0) = (0,0,1)
面积计算：|A × B|给出平行四边形面积

使用叉积计算器的逐步指南

掌握输入格式和分量输入方法
理解计算过程和结果解释
学习使用数学性质验证结果

我们的叉积计算器提供了直观的界面来计算向量叉积，具有专业级的精度和详细的逐步解决方案。

输入指南

为向量A和B输入x、y和z分量。计算器接受整数、小数和负数。每个分量必须是有效的数值。

计算过程

计算器使用行列式公式计算叉积，计算模长，找到单位向量，确定向量间夹角，并提供平行四边形面积。

结果解释

结果包括叉积向量、其模长、同方向的单位向量、输入向量间的夹角，以及面积计算等几何解释。

计算器使用示例

向量A：(1, 2, 3)，向量B：(4, 5, 6)
叉积：(-3, 6, -3)
模长：√54 ≈ 7.348
单位向量：(-0.408, 0.816, -0.408)

叉积计算器的实际应用

物理学中力、扭矩和角动量的应用
工程学中机械和电气系统的应用
计算机图形学和3D建模应用

叉积在物理学、工程学、计算机科学和数学的众多实际应用中都是基础。

物理学应用

在物理学中，叉积计算扭矩（τ = r × F）、角动量（L = r × p）、磁力（F = q(v × B)）和电磁场相互作用。这些计算对于理解旋转动力学和电磁学至关重要。

工程学应用

工程师使用叉积计算结构分析中的力矩，确定表面分析的法向量，计算力所做的功，分析机械工程中的旋转系统。

计算机图形学

在3D计算机图形学中，叉积计算光照计算的表面法向量，确定3D网格中的面方向，计算相机方向，执行碰撞检测算法。

实际应用示例

扭矩计算：旋转系统的τ = r × F
表面法向量：三角形面的n = (v1 - v0) × (v2 - v0)
角速度：圆周运动的ω = r × v
磁力：电磁场中的F = qv × B

常见误解和正确方法

理解为什么叉积不是交换的
识别叉积何时产生零向量
正确解释模长和方向

许多学生和专业人士在处理叉积时遇到常见误解。理解这些陷阱有助于确保准确的计算和正确的解释。

反交换性质

与标量乘法不同，叉积是反交换的：A × B = -(B × A)。模长保持不变，但方向相反。这个性质对于保持一致的坐标系至关重要。

零向量结果

当两个向量平行或反平行时，它们的叉积是零向量。这是因为sin(0°) = sin(180°) = 0。这个性质对于测试向量平行性很有用。

模长解释

模长|A × B|表示由向量A和B形成的平行四边形的面积。它也等于|A||B|sin(θ)，提供了叉积运算的几何解释。

常见误解示例

A × B ≠ B × A（反交换）
(2,4,6) × (1,2,3) = (0,0,0)（平行向量）
|A × B| = 由A和B张成的平行四边形面积
右手定则确定叉积方向

数学推导和高级示例

叉积公式的详细推导
向量微积分中的高级应用
与其他向量运算的集成

叉积公式可以从由单位向量和向量分量形成的矩阵的行列式推导出来，为向量乘法提供系统的方法。

矩阵行列式推导

叉积A × B可以表示为3×3矩阵的行列式：|i j k |，|Ax Ay Az|，|Bx By Bz|。展开这个行列式得到叉积的分量公式。

向量微积分应用

在向量微积分中，叉积出现在旋度计算（∇ × F）、环流积分和通过表面的通量计算中。这些应用在电磁理论和流体动力学中是基础。

高级性质

叉积满足分配性质：A × (B + C) = A × B + A × C。它们也遵循标量乘法规则：k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)，其中k是标量。

高级数学示例

行列式展开：i(AyBz - AzBy) - j(AxBz - AzBx) + k(AxBy - AyBx)
旋度计算：∇ × F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)
分配性质：(1,0,0) × ((2,1,0) + (0,1,1)) = (1,0,0) × (2,2,1)
标量乘法：3((1,2,0) × (0,1,1)) = (3,6,0) × (0,1,1)

基本单位向量

物理问题

工程应用