乘积求和（点积）计算器

什么是乘积求和（点积）？

线性代数中的关键运算，将两个向量结合。
对应元素相乘并求和。
结果是一个数值（标量），而不是向量。

乘积求和，更正式地称为点积或标量积，是线性代数中的基本运算。它接受两个等长的数字序列（向量），返回一个数值。该运算通过将两个向量的对应元素相乘，然后将所有乘积相加来定义。

公式

对于两个向量 A = [a₁, a₂, ..., aₙ] 和 B = [b₁, b₂, ..., bₙ]，点积计算公式为：A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ = Σ (aᵢ * bᵢ)，i 从 1 到 n。

几何解释

在几何上，点积与两个向量之间的夹角有关。具体来说，A · B = ||A|| ||B|| cos(θ)，其中 ||A|| 和 ||B|| 分别为向量的模，θ 为夹角。这表明点积衡量了一个向量在另一个向量方向上的投影。

基础点积计算

A = [1, 2], B = [3, 4] => A · B = (1*3) + (2*4) = 3 + 8 = 11
A = [2, -1], B = [1, 2] => A · B = (2*1) + (-1*2) = 2 - 2 = 0（这两个向量正交）
A = [3, 0, 1], B = [-1, 5, 2] => A · B = (3*-1) + (0*5) + (1*2) = -3 + 0 + 2 = -1

乘积求和计算器使用步骤详解

按正确格式输入向量。
了解输入要求以获得准确结果。
解读计算出的点积值。

我们的计算器简化了点积的计算过程。按照以下步骤即可快速准确地完成计算。

输入指南：

向量A & 向量B：这是两个主要的输入字段。

数字格式：每个向量的数字用逗号（如 1,2,3）或空格（如 1 2 3）分隔。可输入整数、小数和负数。

向量长度：两个向量的元素数量必须相同，否则计算器会提示错误。

计算与解读：

1. 填写向量：在“向量A”和“向量B”字段中输入数字。

2. 点击‘计算’：工具将执行对应元素相乘并求和。

3. 查看结果：结果为一个标量。正值表示两个向量大致同向（夹角<90°），负值表示大致反向（夹角>90°），零表示正交（夹角=90°）。

实际用例示范

输入A：'1.5, 2'，输入B：'4, -1' => 结果：5
输入A：'1 0 0'，输入B：'0 1 0' => 结果：0
输入A：'10, 20'，输入B：'2, 3' => 结果：80

点积的实际应用

物理：计算机械功和功率。
计算机图形学：判断光照与可见性。
数据科学：衡量数据点间的相似度。

点积不仅是抽象的数学概念，在各领域有广泛实际应用。

物理与工程

功的计算：恒力做功等于力向量与位移向量的点积（W = F · d）。如果力的方向与位移一致，做功最大。

磁学：磁通量等于磁场向量与面积向量的点积。

计算机科学与数据科学

计算机图形学：在三维图形中，点积用于判断光线与表面法线的夹角，决定表面亮度。

搜索引擎与NLP：余弦相似度基于点积，用于衡量文档间的主题相似性。文档以向量表示，夹角越小相似度越高。

机器学习：点积是神经网络的核心，神经元输出常通过输入向量与权重向量的点积计算。

行业应用示例

一个10N, 5N的力使物体移动3m, 1m，做功为35焦耳。
在游戏中，光线[0, -1, 0]照射法线[0, 1, 0]，点积为-1，表示表面完全受光。
两个文档向量[1,1,0]和[1,1,1]余弦相似度高，说明主题相关。

常见误区与正确方法

点积结果是标量，不是向量。
点积满足交换律（A · B = B · A）。
点积不同于元素乘积（Hadamard积）。

初学点积时常见一些混淆点。

点积 vs. 叉积

最常见的混淆是点积与叉积。点积结果为标量，叉积（仅定义于三维）结果为垂直于原向量的向量。

点积 vs. Hadamard积

Hadamard积（元素乘积）也是对应元素相乘，但不求和，结果为同长度向量。如A=[1,2], B=[3,4]，Hadamard积为[3,8]，点积为11。

向量长度必须一致

不同长度的向量无法计算点积。必须确保数据集或向量对齐。

澄清示例

错误：[1,2] · [3,4] = [3, 8]（这是Hadamard积）
正确：[1,2] · [3,4] = 11
错误：[1,2,3] · [4,5]（未定义）

点积的数学性质

交换律：a · b = b · a
分配律：a · (b + c) = a · b + a · c
数乘结合律：(ca) · b = c(a · b) = a · (cb)

点积具有多种有用的代数性质，使其在向量运算中非常强大。

交换律

点积的顺序无关，A · B 总等于 B · A。因为普通乘法满足交换律，所以乘积求和也满足。

分配律

点积对向量加法满足分配律，即 a · (b + c) = a · b + a · c。这允许像普通代数一样展开向量表达式。

数乘结合律

向量乘以标量c后再点积，与点积后再乘c结果相同。即 (c A) · B = A · (c B) = c * (A · B)。

性质演示

交换律：[1,2]·[3,4]=11，且[3,4]·[1,2]=11
分配律：[1,1]·([2,2]+[3,0])=[1,1]·[5,2]=7。同时，[1,1]·[2,2]+[1,1]·[3,0]=4+3=7。
数乘：(2*[1,2])·[3,1]=[2,4]·[3,1]=10。同时，2*([1,2]·[3,1])=2*5=10。

基础点积

正交向量

含小数和负数的向量

实际应用：计算总成本