垂心计算器

确定三角形三条高的交点。

输入三角形三个顶点的坐标，计算其垂心的位置。

实用示例

探索不同类型三角形，观察垂心位置变化。点击任意示例可加载到计算器。

锐角三角形

锐角三角形

垂心位于三角形内部的锐角三角形。

A: (2, 3)

B: (8, 1)

C: (5, 7)

钝角三角形

钝角三角形

垂心位于三角形外部的钝角三角形。

A: (2, 2)

B: (4, 6)

C: (9, 1)

直角三角形

直角三角形

垂心与直角顶点重合的直角三角形。

A: (0, 0)

B: (5, 0)

C: (0, 3)

一般三角形

一般三角形

用于演示通用情况的标准三角形。

A: (-2, 1)

B: (3, 2)

C: (1, 5)

其他标题
理解垂心：全面指南
深入探讨三角形基本中心之一，介绍其计算、性质与应用。

什么是垂心？

  • 垂心定义
  • 高的作用
  • 不同三角形类型下的垂心位置
垂心是三角形的一个特殊交点，即三条高的交点。
理解三角形的高
三角形的高是从一个顶点出发，垂直于对边（或对边的延长线）的线段。每个三角形有三个顶点，因此有三条高。这三条高总会交于一点——垂心，这是三角形的重要性质。
垂心位置的变化
垂心的位置反映了三角形的角度特征：
锐角三角形：所有角小于90°，垂心在三角形内部。
直角三角形：有一个角为90°，垂心与直角顶点重合。
钝角三角形：有一个角大于90°，垂心在三角形外部。

关键概念

  • 高总是垂直于所交的边。
  • 任意三角形的三条高总是相交于一点。

垂心计算器使用步骤

  • 输入顶点坐标
  • 解读结果
  • 使用示例
我们的计算器简化了垂心的求法。使用方法如下：
1. 输入顶点坐标
计算器需要输入三角形三个顶点A、B、C的笛卡尔坐标（x, y）。将相应的x和y值输入指定字段。
2. 计算并查看结果
点击“计算”按钮，工具会立即计算并显示垂心（H）坐标、三角形类型（锐角、钝角或直角）及其面积。如果三点共线（无法构成三角形），会显示错误信息。
3. 重置或加载示例
使用“重置”按钮可清空所有输入，便于新计算。也可点击任一示例，自动填充不同类型三角形的预设值。

使用说明

  • 请确保六个输入框（每个顶点的x和y）都已填写。
  • 计算器支持正负坐标及小数。

垂心的实际应用

  • 工程与物理
  • 计算机图形学
  • 几何问题求解
虽然垂心主要是几何概念，但其原理在多个领域有应用。
结构工程
垂直性在工程中至关重要。垂心与三角结构（如桁架）中的力和稳定性分析相关，力矢量可视为高。
计算机图形学与机器人
在CAD和机器人领域，几何构造很重要。计算垂心等点有助于定义对象属性、路径规划和2D/3D空间的几何变换。

应用领域

  • 分析三角机械支架的受力点。
  • 编程机器人臂在三角形工作区内的运动。

常见误区与正确方法

  • 垂心、重心与外心的区别
  • 处理垂直与水平边
  • “共线”特殊情况
三角形中心易混淆，以下澄清常见误区。
区分三角形中心
垂心：三条高的交点（从顶点到对边的垂线）。
重心：三条中线的交点（从顶点到对边中点的线）。即三角形的质心。
外心：三边中垂线的交点。是三角形外接圆的圆心。
特殊情况处理
计算时需正确处理三角形边为水平或垂直的情况。若边为水平，其高为垂直线（斜率无定义）；若边为垂直，其高为水平线（斜率为零）。本计算器能正确处理这些情况，确保结果准确。

重要区分

  • 只有等边三角形时，垂心、重心和外心才重合。
  • 直角三角形的垂心在顶点，外心在斜边中点。

数学推导与公式

  • 求直线斜率
  • 垂直斜率法则
  • 解线性方程组
垂心通过两条高的交点求得。步骤如下：
1. 求三角形边的斜率
已知A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，边AB的斜率为m_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
2. 求高的斜率
从C到AB的高与AB垂直，其斜率malt = -1 / mAB。
3. 列出直线方程
用点斜式，y - y₀ = m(x - x₀)，可写出两条高的方程。例如，从C(x₃, y₃)到AB的高为：y - y₃ = (-1 / m_AB) * (x - x₃)。
4. 解方程组求交点
列出两条高的方程，联立求解，即得交点坐标（x, y），即为垂心。

公式步骤

  • 若边斜率为2，则高的斜率为-1/2。
  • 若边为水平线（斜率=0），高为垂直线（斜率无定义，方程为x=常数）。