奇异值计算器

线性代数与矩阵

输入您的矩阵，使用奇异值分解（SVD）计算其奇异值。计算器将按降序显示所有奇异值及矩阵属性。

用逗号或空格分隔矩阵元素。每行一个新行。

示例矩阵

点击任意示例加载到计算器

2×2单位矩阵

2×2单位矩阵

简单的单位矩阵，奇异值均为1

矩阵维度: 2×2

1, 0
0, 1

3×3对角矩阵

3×3对角矩阵

对角矩阵，奇异值一目了然

矩阵维度: 3×3

4, 0, 0
0, 3, 0
0, 0, 2

2×3矩形矩阵

2×3矩形矩阵

用于SVD分析的非方阵

矩阵维度: 2×3

1, 2, 3
4, 5, 6

3×2 Hilbert矩阵

3×2 Hilbert矩阵

著名的Hilbert矩阵，奇异值特性明显

矩阵维度: 3×2

1, 0.5
0.5, 0.333
0.333, 0.25
其他标题
奇异值计算器详解：全面指南
通过详细指南掌握奇异值分解和矩阵分析基础

什么是奇异值？

  • 数学定义
  • 几何解释
  • 与特征值的关系
奇异值是线性代数中的基本概念，源自矩阵的奇异值分解（SVD）。对于任意m×n矩阵A，奇异值是A^T A（或AA^T，取较小者）的特征值的非负平方根。
数学基础
奇异值分解将任意矩阵A表示为A = UΣV^T，其中U和V为正交矩阵，Σ为包含奇异值σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σₙ ≥ 0的对角矩阵。
几何意义
从几何上看，奇异值表示矩阵在不同方向上拉伸单位向量的程度。最大奇异值表示最大拉伸因子，最小奇异值表示最小拉伸。
与特征值的联系
特征值只适用于方阵，而奇异值适用于任意矩阵。对于对称矩阵，奇异值等于特征值的绝对值。

简单示例

  • 对于2×2单位矩阵，两个奇异值均为1
  • 对角矩阵的奇异值等于其对角元素的绝对值

奇异值计算器使用步骤详解

  • 输入准备
  • 计算器界面
  • 结果解读
我们的奇异值计算器让SVD计算变得简单易用。按照以下步骤即可获得准确的矩阵分析结果。
准备矩阵输入
每行输入一行矩阵数据，行内元素用逗号或空格分隔。确保所有行元素数量一致，格式有效。
使用计算器
输入矩阵数据，必要时指定维度，选择输出格式，点击“计算奇异值”。工具会自动校验并计算SVD。
理解输出结果
结果包括所有奇异值（降序）、矩阵属性如秩和条件数，以及各种矩阵范数。可用这些值分析矩阵的数值特性。

使用示例

  • 输入：'1,2\n3,4' 表示2×2矩阵 [[1,2],[3,4]]
  • 输出：本例中σ₁ = 5.465, σ₂ = 0.366

奇异值的实际应用

  • 数据科学与机器学习
  • 信号处理
  • 工程应用
奇异值在科学、工程和数据分析中有广泛应用。理解这些应用有助于认识SVD在现代计算方法中的重要性。
主成分分析（PCA）
在数据科学中，SVD得到的奇异值用于PCA降维。较大的奇异值对应捕获更多方差的主成分。
图像压缩与处理
SVD可用于有损图像压缩，仅保留最大的奇异值及其对应向量，从而减小文件体积并保持图像质量。
数值分析与稳定性
条件数（最大与最小奇异值之比）反映线性系统对数值误差的敏感性。这在工程仿真和科学计算中至关重要。

行业应用

  • Netflix推荐系统用SVD做协同过滤
  • Google的PageRank算法依赖奇异值计算
  • 气象预测模型用SVD做数据同化

常见误区与正确方法

  • SVD与特征分解的区别
  • 数值精度问题
  • 结果解读误区
许多学生和从业者对奇异值及其计算存在误区。澄清这些问题有助于正确理解和应用SVD技术。
SVD不仅适用于方阵
与特征分解不同，SVD适用于任意矩阵。这是SVD比特征值分析更通用的关键优势。
数值精度注意事项
接近机器精度的小奇异值可能不可靠。实际数据分析时应关注数值秩而非理论秩。
正确解读结果
奇异值总是非负且按从大到小排列。零奇异值表示矩阵的行或列线性相关。

常见误区

  • 3×2矩阵最多有2个非零奇异值
  • 条件数大于10¹²表示数值不稳定

数学推导与高级示例

  • SVD算法概述
  • 复杂矩阵示例
  • 计算复杂度
SVD的数学基础涉及高级线性代数。理解推导过程有助于体会该分解方法的优雅与强大。
理论基础
SVD的存在性由谱定理保证。对任意矩阵A，可构造A^T A（或AA^T），求其特征值和特征向量，系统地推导SVD各部分。
计算算法
现代SVD算法采用如Golub-Reinsch算法或分治法等迭代方法，兼顾数值稳定性和计算效率。
复杂度分析
对m×n矩阵（m≥n），SVD计算复杂度为O(mn²)。大矩阵需用专门算法或近似方法。

高级数学示例

  • Hilbert矩阵H(i,j) = 1/(i+j-1)的奇异值呈指数下降
  • 随机矩阵的奇异值服从Marchenko-Pastur分布