单位圆计算器 | 求正弦、余弦、正切及坐标

什么是单位圆？

定义与核心概念
度与弧度的作用
三角函数的可视化

单位圆是以原点 (0,0) 为中心，半径为 1 的圆。其简洁性使其能直接定义正弦、余弦、正切等三角函数，适用于所有实数角度。

关键属性

单位圆上任意点 (x, y) 可由与正 x 轴的夹角 θ（逆时针测量）确定。核心关系为 x = cos(θ)，y = sin(θ)。单位圆方程为 x² + y² = 1，源自毕达哥拉斯定理。

角度：度与弧度

单位圆上的角度可用度或弧度表示。整圆为 360°，等于 2π 弧度。高等数学中常用弧度，因为它基于圆的半径，是更自然的角度度量。

常见角度及其坐标

角度：30° (π/6 弧度) -> 坐标：(√3/2, 1/2)
角度：45° (π/4 弧度) -> 坐标：(√2/2, √2/2)
角度：60° (π/3 弧度) -> 坐标：(1/2, √3/2)

单位圆计算器使用步骤

输入角度
解读结果
使用示例

我们的计算器易于使用，按以下步骤即可获得结果。

步骤 1：输入角度

在“角度”输入框中输入数值，可为正、负或零。

步骤 2：选择单位

在下拉菜单中选择角度单位（“度 (°)”或“弧度 (rad)”）。此步骤决定输入的解释方式。

步骤 3：计算并查看

点击“计算”按钮，工具将显示 (x, y) 坐标、两种单位下的角度，以及六个三角函数值：正弦、余弦、正切、余割、正割、余切。若某函数在该角度未定义（如 tan(90°)），会有提示。

示例计算

输入：角度 = 150，单位 = 度
结果：坐标 ≈ (-0.866, 0.5)，sin(150°) = 0.5，cos(150°) ≈ -0.866

单位圆的实际应用

物理与工程
计算机图形与游戏开发
导航与天文学

单位圆不仅是数学工具，在科学、技术和工程中有广泛应用。

周期现象建模

在物理学中，单位圆用于描述振荡和波动。声波、光波、钟摆运动等都可用正弦、余弦函数建模，这些函数在几何上由单位圆定义。

数字图形与动画

在计算机图形学中，单位圆用于计算物体旋转、确定二维和三维空间位置、创建圆形或球形效果。游戏开发中常用于角色移动、摄像机控制等。

应用场景

半径为 1 的摩天轮可用单位圆建模。任意角度 θ 下乘客的高度为 y = sin(θ)。

常见误区与正确方法

混淆弧度与度
象限内函数符号
处理未定义值

了解常见陷阱有助于掌握单位圆。

四个象限

常见困惑是各象限三角函数的正负号。记忆口诀“All Students Take Calculus”：第一象限（全为正），第二象限（正弦为正），第三象限（正切为正），第四象限（余弦为正）。

处理未定义函数

某些角度下函数未定义。例如 tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) 在 cos(θ) = 0 时未定义（如 90°、270°），因为不能除以零。我们的计算器会正确提示这些情况。

符号示例

角度：210°（第三象限）
正弦和余弦为负，正切为正。

数学推导与公式

毕达哥拉斯恒等式
六大三角函数公式
角度转换公式

单位圆中的关系源自基本几何和代数原理。

核心公式

单位圆上角度 θ 的点 (x, y)：

cos(θ) = x
sin(θ) = y
tan(θ) = y/x
sec(θ) = 1/x
csc(θ) = 1/y
cot(θ) = x/y

毕达哥拉斯恒等式

由圆方程 x² + y² = 1，可得最重要的三角恒等式：cos²(θ) + sin²(θ) = 1。对所有角度均成立。

角度转换

度转弧度公式：弧度 = 度 × (π / 180)。弧度转度公式：度 = 弧度 × (180 / π)。

转换示例

将 180° 转为弧度：180 × (π / 180) = π 弧度。
将 π/2 弧度转为度：(π/2) × (180 / π) = 90°。

角度为度 (45°)

角度为弧度 (π/3)

象限角 (90°)

负角度 (-30°)