对数展开的数学基础源于对数与指数函数的逆关系，为展开法则提供了严格的理论依据。
乘法法则推导：
设 x = logb(M)，y = logb(N)。由定义，bˣ = M，bʸ = N。M·N = bˣ·bʸ = bˣ⁺ʸ（利用指数性质）。转为对数形式：logb(M·N) = x + y = logb(M) + log_b(N)。
除法法则推导：
同理，M/N = bˣ/bʸ = bˣ⁻ʸ（利用指数的商法则）。转为对数形式：logb(M/N) = x - y = logb(M) - log_b(N)。
幂法则推导：
若 x = logb(M)，则 bˣ = M。两边同时取p次幂：(bˣ)ᵖ = Mᵖ，化简得 bˣᵖ = Mᵖ。转为对数形式：x·p = logb(Mᵖ)，即 logb(Mᵖ) = p·logb(M)。
高级应用：
这些基本法则可通过系统应用扩展到更复杂的表达式。如 log_b(Mᵖ·Nᵍ/Rʳ) 先用除法法则，再用乘法法则，最后对每项用幂法则。
换底公式 logb(x) = logc(x)/log_c(b) 也基于这些展开原理，可实现不同底数间的转换。