多项式乘法计算器

将两个多项式相乘并立即获得结果多项式的系数。

输入两个多项式的系数来计算它们的乘积。此工具使用分配律（系数的卷积）来找到解。

输入逗号分隔或空格分隔的数字。

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示例

点击示例将其加载到计算器中。

两个二项式相乘 (FOIL)

乘法

将 (x + 2) 乘以 (x + 3)。x+2 的系数是 [2, 1]。x+3 的系数是 [3, 1]。

P₁: [2, 1]

P₂: [3, 1]

二项式和三项式

乘法

将 (2x - 3) 乘以 (x² + 4x - 5)。系数：[-3, 2] 和 [-5, 4, 1]。

P₁: [-3, 2]

P₂: [-5, 4, 1]

乘以常数

乘法

将 (3x² - x + 1) 乘以 4。系数：[1, -1, 3] 和 [4]。

P₁: [1, -1, 3]

P₂: [4]

两个三项式

乘法

将 (x² + 2x + 1) 乘以 (x² - 3x + 2)。系数：[1, 2, 1] 和 [2, -3, 1]。

P₁: [1, 2, 1]

P₂: [2, -3, 1]

其他标题
理解多项式乘法：综合指南
掌握多项式乘法的艺术，从简单的二项式到复杂表达式，理解其核心原理和应用。

什么是多项式乘法？核心概念

  • 多次应用分配律的过程
  • 组合项形成新的更高次多项式
  • 解决代数方程和建模系统的基础
多项式乘法是代数中的基本运算，涉及找到两个或多个多项式的乘积。核心原理是重复使用分配律，确保第一个多项式中的每一项都与第二个多项式中的每一项相乘。
当您将两个多项式相乘时，结果是一个新的多项式，其次数是原始多项式次数的总和。这个新多项式的系数通过组合原始项系数的乘积来找到。这个过程在数学上等价于系数序列的卷积。
分配律
例如，要将 (ax + b) 乘以 (cx + d)，您分配每一项：ax(cx + d) + b*(cx + d) = acx² + adx + bcx + bd。合并同类项得到 acx² + (ad + bc)x + bd。

基本乘法示例

  • (x + 1) * (x + 2) = x² + 3x + 2
  • 系数 [1, 1] * [2, 1] 得到系数 [2, 3, 1]
  • 将多项式乘以常数（0次单项式）会缩放其所有系数。

使用多项式乘法计算器的分步指南

  • 学习输入多项式系数的正确格式
  • 执行计算并理解输出
  • 使用重置和示例功能提高工作效率
我们的计算器将多项式乘法简化为几个简单步骤，为您的代数作业、工程计算或科学研究提供准确结果。
输入指南：
  • 系数格式：输入每个多项式的系数，用逗号分隔（例如，'3, 0, -1' 表示 3x² - 1）或用空格分隔（'3 0 -1'）。
  • 系数顺序：系数必须从最低次到最高次输入。对于像 2x³ + 4x - 5 这样的多项式，您需要输入 '-5, 4, 0, 2'（注意缺少 x² 项的 '0'）。
计算和结果：
  • 计算：点击“计算乘积”按钮执行乘法运算。
  • 结果系数：输出显示结果多项式的系数，也是从最低次到最高次排序。
  • 格式化多项式：显示结果多项式的人类可读版本以便清晰理解。

实际使用示例

  • 输入 P₁：'1, 1'，P₂：'1, 1' → 结果：1 + 2x + x²
  • 输入 P₁：'2, -1'，P₂：'3, 2, 1' → 结果：6 + x - x²

多项式乘法的实际应用

  • 工程：建模信号和设计系统
  • 计算机图形学：创建曲线和曲面
  • 密码学：构建安全加密算法
  • 金融建模：预测增长和分析趋势
多项式乘法不仅仅是抽象的代数概念；它是用于科学、技术和金融各个领域的强大工具。
信号处理和系统设计：
在工程中，线性时不变（LTI）系统的特性由多项式描述。将这些多项式相乘等价于级联系统，使工程师能够预测整体输出。
计算机图形学和几何学：
多项式定义曲线和曲面，例如矢量图形和字体设计中使用的贝塞尔曲线。将它们相乘可以帮助几何建模和创建复杂形状。
密码学：
高级加密标准，特别是基于伽罗瓦域（有限域）的标准，严重依赖多项式算术，包括乘法，以确保数据安全。

行业应用

  • 建模面积：(长度+a)*(宽度+b) 是一个多项式乘法问题。
  • 贝塞尔曲线计算涉及伯恩斯坦基多项式的乘积。
  • 纠错码使用有限域上的多项式乘法来编码和解码数据。

常用方法：FOIL、网格和垂直乘法

  • 两个二项式相乘的FOIL方法
  • 组织项的网格（或盒子）方法
  • 类似于多位数字乘法的垂直方法
虽然我们的计算器提供即时答案，但理解手动方法对于在代数中建立坚实基础至关重要。每种方法都是应用分配律的系统方法。
FOIL方法：
FOIL是乘以两个二项式的助记符：First（第一）、Outer（外）、Inner（内）、Last（最后）。对于 (ax+b)(cx+d)，您计算 (ax)(cx) + (ax)(d) + (b)(cx) + (b)(d)。这是通用分配方法的特例。
网格（盒子）方法：
此方法使用网格来组织项的乘积。将一个多项式的项写在顶部，另一个多项式的项写在侧面。用相应行和列项的乘积填充每个单元格。最后，合并同类项（通常在对角线上找到）。
垂直方法：
这看起来非常类似于数字的长乘法。您将一个多项式写在另一个多项式上方，并将顶部多项式乘以底部多项式的每一项，在相加之前垂直对齐同类项。

手动计算技术

  • FOIL：(x+2)(x+3) = (x*x) + (x*3) + (2*x) + (2*3) = x² + 5x + 6。
  • 垂直方法：(x²+2x+1) 乘以 (x-1) 在求和之前需要两行部分乘积。
  • 网格方法非常适合视觉学习者，有助于避免遗漏项。

数学推导：乘法作为系数卷积

  • 将多项式表示为系数序列
  • 理解离散卷积的形式定义
  • 将卷积公式与分配律联系起来
此计算器背后的计算引擎是一个优雅的数学概念：离散卷积。理解这种联系揭示了多项式算术的深层结构。
多项式作为向量：
多项式 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ 可以唯一地由其系数向量（或序列）[a₀, a₁, a₂, ..., aₙ] 表示。
卷积公式：
设 P₁(x) 的系数为 A = [a₀, a₁, ...]，P₂(x) 的系数为 B = [b₀, b₁, ...]。乘积 P(x) = P₁(x)P₂(x) 的系数为 C = [c₀, c₁, ...]，其中每个 cₖ 由离散卷积公式给出：cₖ = Σᵢ aᵢ * bₖ₋ᵢ，其中求和遍及所有有效索引 i。
例如，x² 项的系数 (c₂) 是次数相加为 2 的所有系数乘积的总和：a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀。这正是您在分配后收集同类项时发生的情况。

通过卷积推导

  • P₁ = x+2 → [2, 1]，P₂ = x+3 → [3, 1]。
  • c₀ = a₀b₀ = 2 * 3 = 6。
  • c₁ = a₀b₁ + a₁b₀ = (2 * 1) + (1 * 3) = 5。
  • c₂ = a₁b₁ = 1 * 1 = 1。
  • 结果系数 C = [6, 5, 1]，对应 x² + 5x + 6。