二次不等式图形计算器

什么是二次不等式？核心概念

理解抛物线
不等式符号的作用
实线与虚线及阴影区域

二次不等式是用 >、<、≥ 或 ≤ 等符号将二次表达式与某个值进行比较的数学语句。在二维平面上绘制时，涉及抛物线，即二次函数特有的 U 形曲线。

抛物线：y = ax² + bx + c

不等式的核心是二次函数 y = ax² + bx + c。系数 'a' 决定抛物线开口方向：a>0 向上，a<0 向下。顶点是抛物线的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）。

解读不等式

不等式符号决定了解集所在的平面区域。y > ... 或 y ≥ ... 时，解集在抛物线上方；y < ... 或 y ≤ ... 时，解集在下方。≥ 和 ≤ 用实线表示（包含边界），> 和 < 用虚线表示（不包含边界）。

关键概念示例

y > x² - 1：虚线抛物线开口向上，阴影区域在曲线上方。
y ≤ -x² + 4：实线抛物线开口向下，阴影区域在曲线下方。

计算器使用分步指南

输入系数
选择不等式类型
解读结果区

本计算器将二次不等式图形化过程简化为几个简单步骤。请按此指南快速获得准确结果。

输入你的不等式

1. 系数 'a'：输入 x² 项的系数。注意，a 不能为零。

2. 系数 'b'：输入 x 项的系数。

3. 系数 'c'：输入常数项。

4. 不等式：从下拉菜单选择正确的符号（>、<、≥ 或 ≤）。

分析输出

点击“绘制不等式”后，计算器会给出详细分解：

顶点、根、焦点：这些是抛物线的关键几何属性。

图形描述：总结了图像的线型（实线/虚线）和阴影解集（上方/下方）。

实用演示

对于 y ≥ 2x² - 3x + 1，输入 a=2, b=-3, c=1 并选择 '≥'。
计算器会显示开口向上，实线，阴影在上方。

二次不等式的实际应用

物理与工程
商业与经济
优化问题

二次不等式不仅是抽象的数学概念，在各领域有实际应用。

抛射运动

在物理中，抛体的高度随时间变化可用二次函数建模。不等式可用于确定物体高于某一高度的时间区间。例如，求一个抛出的球何时高于 10 英尺。

利润最大化

在经济学中，收益和成本函数常为二次型。企业可用二次不等式确定保证利润高于某阈值的产量或价格区间。

设计与建筑

建筑师在设计抛物线拱桥或天花板等结构时，可用不等式确保尺寸满足最大高度或最小面积等约束。

应用示例

求火箭高度 h(t) = -16t² + 100t 何时大于 50 英尺。
确定利润函数 P(x) = -5x² + 200x - 1000 至少为 500 美元时的价格区间。

数学推导与公式

顶点求法
求根公式
焦点与准线计算

计算器结果基于代数和几何的基本公式。

顶点公式

抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点为 (h, k)。h = -b / (2a)，k 代入原式得 k = a(h)² + b(h) + c。

求根公式

根（x 截距）是抛物线与 x 轴的交点（y=0）。用求根公式 x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a) 计算。判别式 b² - 4ac > 0 有两个根，=0 有一个根，<0 无实数根。

焦点与准线

抛物线的焦点是点，准线是直线。抛物线上每点到焦点和准线距离相等。顶点为 (h, k) 时，焦点为 (h, k + p)，准线为 y = k - p，p = 1 / (4a)。

核心公式

y = 2x² - 8x + 6：顶点 x = -(-8)/(2*2) = 2，y = 2(2)² - 8(2) + 6 = -2，顶点为 (2, -2)。
根：x = [8 ± sqrt((-8)² - 4*2*6)] / (2*2) = [8 ± 4]/4，根为 x=3 和 x=1。

常见误区与正确解读

不等式与方程的区别
阴影含义
边界线错误

理解二次不等式需避免常见误区。

解集是区域，不是数值

常见错误是认为解是单个或一对数值。解二次方程得具体 x 值（根），解二次不等式在二维平面上得到一整个 (x, y) 坐标区域。

虚线与实线

忽略严格（<, >）与非严格（≤, ≥）不等式的区别是常见错误。虚线表示抛物线本身不属于解集，实线表示抛物线上的点属于解集。

阴影方向错误

容易混淆阴影在抛物线的上方还是下方。可用 (0,0) 测试：代入 x=0, y=0，若成立则包含原点一侧为解集，否则为另一侧。计算器自动判断，手工绘图时此法很有用。

注意事项

y > x²：测试 (0,1)。1 > 0² 成立，阴影在 (0,1) 一侧，即抛物线内（上方）。
y < x² - 1：测试 (0,0)。0 < 0² - 1 不成立，阴影不含原点，即抛物线外（下方）。

标准向上抛物线

向下抛物线 (实线)

无实数根

顶点在 x 轴上