反比例计算器 | 即时求解 y = k/x

什么是反比例？核心概念

定义两个变量反向变化的关系。
理解变动常数 'k'。
基本公式：y = k/x。

反比例（又称反比）描述了两个变量之间的关系：一个变量增加，另一个变量减少，反之亦然。其关键特征是它们的乘积保持不变。

这个恒定的乘积称为‘变动常数’或‘比例常数’，用 k 表示。该关系的数学表达式为 y = k/x，也可写作 xy = k。

基础示例

若 x = 5 时 y = 10，则 k = 10 * 5 = 50。方程为 y = 50/x。
若 x = 8 时 y = 2，则 k = 2 * 8 = 16。方程为 y = 16/x。

反比例计算器使用步骤详解

输入已知初始值（x₁ 和 y₁）
选择要求解的变量（x₂ 或 y₂）
理解计算出的常数、方程和最终结果

1. 输入初始值

在“初始值（点 1）”部分，输入已知变量对 x₁ 和 y₁ 的值。

2. 选择要求解内容

在“求解”下拉菜单中，选择要求解新的 y 值（y₂）或新的 x 值（x₂）。

3. 输入已知变量

会出现相应变量的输入框（x₂ 或 y₂），请输入其值。

4. 计算并查看结果

点击“计算”。工具会显示变动常数 (k)、完整的反比例方程和最终计算结果。

使用示例

问题：x = 3 时 y = 15，x = 5 时 y 为多少？
解答：输入 x₁=3，y₁=15。选择“已知 x₂ 求 y₂”，输入 x₂=5。结果：k=45，y₂=9。

反比例的实际应用

物理：理解速度-时间、压力-体积等关系。
经济学：建模价格与需求等概念。
项目管理：工人数与完成时间的关系。

速度与行驶时间

在固定距离下，速度与行驶时间成反比。速度越快，所需时间越短。公式：时间 = 距离 / 速度。

压力与体积（波义耳定律）

物理学中，波义耳定律指出，在恒温下，一定量气体的压力与体积成反比。压力增加，体积减小。公式：P ∝ 1/V。

工作与时间

参与项目的人数通常与完成所需时间成反比。人越多，时间越短。

实际场景

行驶 240 英里：60 英里/小时需 4 小时，80 英里/小时需 3 小时。（60*4=80*3=240）
活塞中的气体：压力为 1 atm 时体积为 2L，体积增至 4L 时压力降为 0.5 atm。

常见误区与正确方法

区分反比例与正比例
正确建立比例关系
避免常见代数错误

误区 1：与正比例混淆

错误： 认为一个变量增加，另一个也增加。这描述的是正比例（y = kx）。

正确： 反比例中，一个变量增加，另一个减少。关系为 y = k/x。

误区 2：比例式建立错误

错误： 使用 x₁/y₁ = x₂/y₂ 这样的比值。这是初学者常见错误。

正确： 正确关系应为乘积恒定：x₁y₁ = x₂y₂。这是求解未知数的基础。

澄清示例

正比例：工作时间越多，工资越高。（工资 = 时薪 × 小时）
反比例：分披萨的人越多，每人分得越少。（每人份额 = 披萨总量 / 人数）

数学推导与公式

推导常数 k 的公式
推导新变量的公式
逐步求解示例

反比例的核心原理是两个变量的乘积为常数。我们用这个原理推导计算器所用公式。

推导

1. 定义：y 随 x 成反比。

2. 公式：y = k/x

3. 求 k：变形公式得 k = x y。任意点 (x₁, y₁) 上，k = x₁ y₁。

4. 求 y₂：x₁y₁ = k，x₂y₂ = k，所以 x₁y₁ = x₂y₂。求 y₂ 得 y₂ = (x₁y₁) / x₂。

5. 求 x₂：同理，x₂ = (x₁y₁) / y₂。

求解示例

问题：x = 3 时 y = 8，y = 6 时 x 为多少？
1. 求 k：k = x₁y₁ = 3 * 8 = 24。
2. 用公式求 x₂：x₂ = (x₁y₁) / y₂ = 24 / 6。
3. 解得：x₂ = 4。

已知 x₁、y₁ 和 x₂ 求 y₂

已知 x₁、y₁ 和 y₂ 求 x₂

物理：速度与时间

经济学：价格与需求