根公式的数学推导
n次根的公式自然地从德莫弗定理中产生。如果 z = r(cos θ + i sin θ) 且 w^n = z，那么我们寻求 w = ρ(cos φ + i sin φ) 使得 [ρ(cos φ + i sin φ)]^n = r(cos θ + i sin θ)。
对左侧应用德莫弗定理给出 ρⁿ(cos nφ + i sin nφ) = r(cos θ + i sin θ)。对于相等，我们需要 ρⁿ = r 和 nφ = θ + 2πk（k为整数）。这产生 ρ = r^(1/n) 和 φ = (θ + 2πk)/n。
三角函数的周期性确保 k = 0, 1, 2, ..., n-1 在区间 [0, 2π) 中给出恰好n个不同的φ值。此范围之外的k值由于2π周期性简单地重复相同的根。
与多项式理论的联系
查找复数c的n次根等价于求解多项式方程 zⁿ - c = 0。代数基本定理保证这个多项式在复平面中恰好有n个根（计算重数）。
这些根是内接在半径为 |c|^(1/n) 的圆中的正n边形的顶点。这种几何洞察将复数根与多边形构造联系起来，并有助于可视化为什么某些代数问题具有优雅的几何解。
数值方法和计算方法
虽然德莫弗方法提供精确的解析解，但像牛顿方法这样的数值方法可以找到更一般多项式的根。牛顿方法使用迭代 w{k+1} = wk - f(wk)/f'(wk) 收敛到 f(z) = 0 的根。
对于特定情况 z^n - c = 0，牛顿方法变为 w{k+1} = ((n-1)wk + c/w_k^(n-1))/n。当从适当的初始猜测开始时，这个公式快速收敛到每个根，提供替代的计算方法。
扩展和推广
理论自然地扩展到分数指数，其中 z^(p/q) 表示 z^p 的q次根。复数对数提供另一个视角，其中z的n次根对应于 z^(1/n) = exp((ln z + 2πik)/n) 的不同分支。