和差恒等式计算器

计算角度和与差的三角函数值 (A ± B)

输入两个角度，选择函数和运算，应用相应的和差恒等式。

示例

点击示例将其加载到计算器。

和的正弦 (sin(45° + 30°))

和的正弦

通过 sin(45°) 与 sin(30°) 的和计算 sin(75°)

函数: 正弦 (sin)

运算类型: 和 (A + B)

角A: 45

角B: 30

单位: 度

差的余弦 (cos(60° - 45°))

差的余弦

通过 cos(60°) 与 cos(45°) 的差计算 cos(15°)

函数: 余弦 (cos)

运算类型: 差 (A - B)

角A: 60

角B: 45

单位: 度

弧度和的正切 (tan(π/6 + π/4))

弧度和的正切

计算两个弧度角和的正切值。

函数: 正切 (tan)

运算类型: 和 (A + B)

角A: 0.523599

角B: 0.785398

单位: 弧度

带负角的差的正弦

带负角的差的正弦

计算 sin(120° - (-30°)) = sin(150°)

函数: 正弦 (sin)

运算类型: 差 (A - B)

角A: 120

角B: -30

单位: 度

其他标题
理解和差恒等式：全面指南
掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式。三角学、微积分和物理学必备。

什么是和差恒等式？

  • 分解角度加法与减法公式。
  • 正弦、余弦和正切的六个基本恒等式。
  • 这些恒等式为何是三角学的基石。
和差恒等式，也称为角度加减公式，是一组三角恒等式，将两个角（如A+B或A-B）的三角函数表示为各自角A和B的三角函数。它们是简化复杂表达式和精确求解各种角度三角值的重要工具。
六大核心公式
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))

核心恒等式示例

  • 通过计算 sin(45° + 30°) 求 sin(75°)
  • 将 cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) 简化为 cos(x - y)

计算器使用分步指南

  • 选择正确的函数和运算。
  • 输入角度（度或弧度）。
  • 理解计算结果和公式。
我们的计算器简化了这些恒等式的应用流程。请按照以下步骤进行准确计算：
输入指南
1. 选择三角函数： 从下拉菜单中选择正弦（sin）、余弦（cos）或正切（tan）。
2. 选择运算类型： 选择计算和 (A + B) 还是差 (A - B)。
3. 输入角度： 输入角A和角B的数值。
4. 选择单位： 指定角度单位为“度”或“弧度”，这对准确性至关重要。
5. 计算： 点击“计算”按钮查看结果。
理解输出
计算器不仅提供最终数值答案，还会显示所用公式及分步计算过程，帮助你理解结果的推导过程。

实际应用示例

  • 输入：func=cos, op=difference, A=60, B=45, unit=degrees → 结果：cos(15°)
  • 输入：func=tan, op=sum, A=π/6, B=π/4, unit=radians → 结果：tan(5π/12)

和差恒等式的实际应用

  • 物理中的波干涉分析。
  • 电气工程中的电路简化。
  • 计算机图形学中的旋转与变换。
这些恒等式不仅是学术练习，在许多科学和工程领域都至关重要。
物理与波动力学
在物理学中，波的叠加（如声波、光波或水波）分析常用和差恒等式。当两列波相遇时，其合成振幅由这些恒等式直接推导的公式决定，解释了如相长干涉和相消干涉等现象。
电气工程
在交流电路分析中，电压与电流的相位关系由正弦函数描述。和差恒等式用于分析多交流源电路，简化复杂阻抗计算。
导航与大地测量
这些公式用于球面三角学，帮助导航和大地测量中的距离与方位计算。

行业应用示例

  • 计算两列声波的拍频。
  • 分析RLC电路中的相位移。
  • 确定卫星的位置。

常见误区与正确方法

  • 避免三角函数分配律的误用。
  • 注意余弦公式中的符号。
  • 正确处理正切无定义情况。
常见错误是错误地将三角函数分配到和或差上。务必使用正确的恒等式。
错误与正确方法对比
错误： sin(A + B) = sin(A) + sin(B)
正确： sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
余弦符号规则
请记住余弦恒等式中的符号变化：cos(A + B) 公式中为减号，cos(A - B) 公式中为加号。这是常见错误来源。
正切特殊情况
正切函数在90°（π/2弧度）及其倍数处无定义。使用正切恒等式时，若A、B或A±B为此类角度，公式将出现除以零的情况，结果无定义。我们的计算器会自动处理这些情况。

常见错误示例

  • 将 cos(A+B) 错误写为 cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)。
  • 忘记检查 tan(A) 或 tan(B) 是否无定义。

数学推导与证明

  • 单位圆几何证明。
  • 欧拉公式推导 (e^ix = cos(x) + i*sin(x))。
  • 向量点积简明证明。
这些恒等式可以通过多种方法优雅地证明，每种方法都提供了不同的见解。
单位圆几何证明
最直观的证明之一是单位圆法。通过在圆上构造点P(A)和P(B)，利用两点间距离公式，并将整个系统旋转-B使P(B)位于(1,0)。距离不变，将两种距离表达式相等即可得到 cos(A - B) 的恒等式。其他恒等式也可由此推导。
欧拉公式证明
更高级的证明方法是欧拉公式 e^(ix) = cos(x) + isin(x)。考虑 e^(i(A+B)) = e^(iA) e^(iB)，将两边展开为余弦和正弦分量，对比实部和虚部即可同时证明正弦和余弦的和公式。

证明技巧示例

  • 用距离公式证明 cos(A-B)。
  • 展开 e^(i(A+B)) 推导 sin 和 cos 的和公式。