极坐标计算器 | 极坐标与直角坐标转换 (r,θ ↔ x,y)

什么是极坐标和直角坐标？

二维主要坐标系的定义
理解其核心组成部分
主要区别及各自适用场景

在数学中，我们用坐标系唯一确定一个点的位置。二维平面上最常用的两种坐标系是直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系

直角坐标系以两条互相垂直的轴（x轴和y轴）描述点的位置。一个点用有序对 (x, y) 表示，分别代表其到y轴和x轴的有向距离。这种矩形网格直观地表示线性关系和几何图形，如正方形和矩形。

极坐标系

极坐标系用距离和角度描述点的位置。每个点用有序对 (r, θ) 表示，其中 r 是到极点（原点）的距离，θ（theta）是从极轴（通常与x轴正方向重合）逆时针测量的角度。

系统表示

直角坐标：(3, 4) 表示向右3单位，向上4单位。
极坐标：(5, 53.13°) 表示距离原点5单位，角度为53.13度。

极坐标计算器使用步骤详解

选择转换类型
正确输入坐标值
准确解读计算结果

本计算器简化了转换过程。请按以下步骤操作以获得准确结果。

1. 选择转换方向

首先在“转换类型”下拉菜单中选择所需转换。若有 (r, θ) 值请选择“极坐标转直角坐标”，若有 (x, y) 值请选择“直角坐标转极坐标”。

2. 选择角度单位（极坐标输入时）

若从极坐标转为直角坐标，需指定角度 (θ) 的单位（度或弧度）。从直角坐标转极坐标时，结果也会以所选单位显示。

3. 输入坐标值

根据所选转换类型填写相应输入框。确保半径 r 为非负数。

4. 计算并查看结果

点击“计算”按钮，结果将在“结果”卡片中显示，并可一键复制。

使用场景

输入 r=10, θ=90, 单位=度，进行极坐标转直角坐标。
输入 x=-5, y=5，进行直角坐标转极坐标。

数学推导与公式

转换的三角基础
极坐标转直角坐标公式
直角坐标转极坐标公式

极坐标与直角坐标的转换基于直角三角形三角函数。

极坐标 (r, θ) 转直角坐标 (x, y)

以极点、点 (r, θ) 及其在x轴投影构成直角三角形，利用基本三角函数（SOH CAH TOA）。斜边为 r，角为 θ。邻边为 x，对边为 y。

x = r * cos(θ)

y = r * sin(θ)

直角坐标 (x, y) 转极坐标 (r, θ)

r 用勾股定理计算：

r = √(x² + y²)

角度 θ 用反正切函数。推荐使用 atan2(y, x) 以正确处理四象限。

θ = atan2(y, x)

公式应用

(r=2, θ=30°)：x = 2 * cos(30°) = 1.732, y = 2 * sin(30°) = 1。
(x=3, y=4)：r = √(3² + 4²) = 5, θ = atan2(4, 3) = 53.13°。

极坐标的实际应用

物理与工程中的应用
计算机图形与机器人领域
导航与天文学中的相关性

极坐标不仅是学术概念，在许多实际领域也至关重要。

物理与工程

在物理学中，极坐标非常适合描述圆周运动的物体，如行星轨道或汽车绕圆形跑道运动。分析以中心为源的场（如电磁场、引力场）时也很重要。

工程师用极坐标描述天线和麦克风的辐射图，其信号强度随角度变化。

计算机图形与机器人

在计算机图形学中，围绕某点旋转物体用极坐标更简单。也常用于绘制圆形或螺旋图案。机器人领域，机械臂的位置常用角度和伸展长度描述，正是极坐标的直接应用。

实际领域

雷达屏幕通过距离和方位角显示飞机位置。
CAD 程序按特定角度旋转组件。

常见误区与正确方法

极坐标的唯一性
处理负角度和半径
选择正确的反正切函数

极坐标虽强大，但有一些容易混淆的细节。

极坐标唯一吗？

与直角坐标不同，极坐标表示同一点的方法不唯一。例如，(r, θ) 也可表示为 (r, θ + 360°) 或 (r, θ - 360°)。极点 (原点) 可表示为 (0, θ)，θ 取任意值。本计算器返回主值，通常在 [0, 360°) 或 [0, 2π) 区间。

为何必须用 atan2(y, x)

常见错误是用 atan(y/x) 计算 θ。该函数只返回 -90° 到 +90°，无法区分对角象限。atan2(y, x) 会根据 x、y 符号返回完整 360° 范围的正确角度，因此极为重要。

避免误区

(x=-1, y=-1) 时，atan(-1/-1)=atan(1)=45°（错误），atan2(-1, -1)=-135° 或 225°（正确）。
(5, 90°) 与 (5, 450°) 表示同一点。

极坐标转直角坐标

直角坐标转极坐标

使用弧度转换

带负坐标的转换