卷积计算器

计算信号处理和数学分析的离散和连续卷积

输入两个序列或函数来计算它们的卷积。卷积是信号处理、数学和工程中的基本运算。

输入逗号分隔或空格分隔的数字

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示例

点击任何示例将其加载到计算器中

简单信号卷积

discrete

两个简单信号的基本离散卷积

f: [1,2,3]

g: [1,1,1]

移动平均滤波器

discrete

使用卷积的平滑滤波器

f: [1,4,2,8,3,6]

g: [0.33,0.33,0.33]

高斯模糊近似

discrete

信号平滑的高斯卷积近似

f: [1,2,1,3,2,1]

g: [0.25,0.5,0.25]

边缘检测核

discrete

边缘检测的高通滤波器

f: [1,1,1,2,2,2,1,1,1]

g: [-1,0,1]

其他标题
理解卷积计算器：综合指南
掌握卷积的数学运算及其在信号处理、图像处理和数学分析中的应用

什么是卷积？数学基础和概念

  • 卷积表示两个函数的数学混合
  • 它测量一个函数在另一个函数上滑动时的重叠程度
  • 信号处理、概率论和统计学中的基本运算
卷积是将两个函数组合产生第三个函数的基本数学运算。它表示一个函数的形状如何被另一个函数修改，使其在信号处理、图像处理和数学分析中不可或缺。
对于离散信号，序列f和g的卷积定义为：(f * g)[n] = Σ f[m] × g[n-m]，对所有m。这个公式显示了每个输出点如何依赖于多个输入点，由第二个函数加权。
对于连续函数，卷积表示为：(f * g)(t) = ∫ f(τ) × g(t-τ) dτ。这个积分表示当一个函数反转并移动时，两个函数乘积下的面积。
关键洞察是卷积测量函数在一个滑动经过另一个时的重叠程度。这种滑动和乘法过程创造了特征性的形状混合效果，使卷积如此有用。

基本卷积示例

  • 离散：[1,2,3] * [1,1] = [1,3,5,3] - 每个输出组合多个输入
  • 阶跃函数与自身卷积创建斜坡函数
  • 高斯与噪声卷积减少噪声同时保持信号
  • δ函数卷积使另一个函数保持不变

使用卷积计算器的分步指南

  • 掌握输入格式和序列输入方法
  • 理解不同卷积类型及其应用
  • 解释结果并有效分析输出
我们的卷积计算器提供了一个直观的界面，用于计算具有专业级精度的离散和连续卷积。
输入指南：
  • 序列格式：输入逗号分隔的数字 (1,2,3,4) 或空格分隔的数字 (1 2 3 4)。两种格式都会被自动识别。
  • 小数支持：计算器接受小数值 (0.5, 1.25, -2.7) 用于精确信号表示。
  • 负值：包含负数用于具有正负分量的信号。
卷积类型：
  • 离散卷积：用于采样信号、数字滤波器和离散时间系统。在数字信号处理中最常见。
  • 连续近似：使用数值积分技术近似连续卷积用于数学分析。
解释结果：
  • 输出长度：对于长度为M和N的序列，卷积输出长度为M+N-1。
  • 峰值分析：峰值的位置和幅度揭示了重要的信号特征。

实际使用示例

  • 输入：f=[1,0,1], g=[1,2,1] → 输出：[1,2,3,2,1]
  • 滤波器设计：信号=[1,1,1,1] 与核=[0.5,0.5] 创建移动平均
  • 边缘检测：使用核=[-1,0,1] 突出信号转换
  • 噪声减少：高斯核=[0.25,0.5,0.25] 平滑噪声信号

卷积在工程和科学中的实际应用

  • 信号处理：滤波、噪声减少和系统分析
  • 图像处理：模糊、锐化和特征检测
  • 机器学习：卷积神经网络和特征提取
  • 物理和工程：系统响应分析和建模
卷积作为工程、科学和技术中无数应用的数学基础：
数字信号处理：
  • 音频处理：卷积在音频系统中创建混响效果、均衡器和噪声滤波器。
  • 通信系统：信道均衡和干扰消除依赖于基于卷积的滤波器。
  • 生物医学信号：ECG和EEG信号处理使用卷积进行伪影去除和特征增强。
图像和计算机视觉：
  • 图像滤波：高斯模糊、边缘检测和锐化滤波器通过卷积实现。
  • 特征检测：角点检测、线检测和纹理分析算法使用卷积核。
  • 深度学习：卷积神经网络 (CNN) 使用可学习的卷积核进行图像识别。
工程系统：
  • 控制系统：反馈控制中的系统响应分析和滤波器设计。
  • 结构分析：振动和地震工程中的脉冲响应函数。

行业应用

  • MP3音频压缩使用基于卷积的心理声学滤波器
  • 医学MRI图像重建使用卷积进行噪声减少
  • 雷达系统使用匹配滤波器（卷积）进行目标检测
  • 数码相机应用卷积进行自动对焦和图像稳定

常见误解和高级卷积技术

  • 理解卷积与相关性的差异
  • 澄清线性与循环卷积概念
  • 解决计算复杂性和优化方法
尽管卷积被广泛使用，但它经常被误解。解决这些误解建立更深的理解：
卷积与相关性：
  • 关键差异：卷积在滑动前翻转一个函数，而相关性不翻转。这使得卷积可交换并适用于系统分析。
  • 数学影响：卷积中的翻转操作确保因果系统产生因果输出。
线性与循环卷积：
  • 线性卷积：序列不环绕的标准形式。输出长度 = M+N-1。
  • 循环卷积：序列环绕的周期扩展。输出长度 = max(M,N)。
计算考虑：
  • 直接方法：对于长度为M和N的序列，复杂度为O(MN)。
  • FFT方法：使用快速傅里叶变换的O(N log N)复杂度用于大序列。
  • 可分离核：2D卷积可以使用可分离滤波器优化，显著降低复杂度。

高级概念

  • 互相关：用于模板匹配和信号对齐
  • 循环卷积：对周期信号和基于FFT的处理有效
  • 有效与完全卷积：各种软件中不同的输出大小约定
  • 因果与反因果：系统稳定性取决于卷积核属性

数学性质和理论基础

  • 探索卷积的代数性质和定理
  • 理解与傅里叶变换的关系
  • 分析不同数学背景下的卷积
卷积具有优雅的数学性质，使其成为分析和工程的基石：
基本性质：
  • 交换性：f g = g f。卷积的顺序在数学上无关紧要。
  • 结合性：(f g) h = f (g h)。多个卷积可以按任何顺序分组。
  • 分配性：f (g + h) = f g + f * h。卷积对加法分配。
傅里叶变换关系：
  • 卷积定理：F{f * g} = F{f} × F{g}。时域中的卷积等于频域中的乘法。
  • 计算优势：大卷积可以使用FFT更快计算：IFFT(FFT(f) × FFT(g))。
特殊情况恒等式：
  • δ函数：f * δ = f。δ函数是卷积的单位元素。
  • 高斯函数：高斯 * 高斯 = 具有组合方差的高斯。
  • 导数性质：d/dx(f g) = (df/dx) g = f * (dg/dx)。

数学示例

  • 两个高斯：σ₁² + σ₂² = σ_result² 当卷积高斯函数时
  • 系统级联：h₁ * h₂ * h₃ 表示三个串联系统
  • 格林函数：与格林函数卷积求解微分方程
  • 概率：随机变量之和对应于其PDF的卷积