曼哈顿距离计算器

使用出租车几何（L1范数）计算两点之间的距离

输入两个点的坐标以找到曼哈顿距离。此度量在网格状路径中很有用，例如城市街区或棋盘。

输入用逗号或空格分隔的数字。

输入用逗号或空格分隔的数字。

示例

点击示例将其加载到计算器中。

2D城市路径

默认

在2D城市网格中找到两点之间的距离。

P: [2, 3]

Q: [5, 7]

3D空间导航

默认

在3维坐标系中计算距离。

P: [10, -5, 8]

Q: [4, 2, 12]

数据科学特征向量

默认

测量数据集中两个4D特征向量之间的距离。

P: [1, 0, 1, 0]

Q: [0, 1, 0, 1]

简单1D距离

默认

计算数轴上两点之间的距离。

P: [-15]

Q: [25]

其他标题
理解曼哈顿距离：综合指南
探索曼哈顿距离的概念、公式、应用以及它与欧几里得距离的区别。

什么是曼哈顿距离？

  • 也称为出租车距离或L1范数。
  • 在网格上测量距离，仅水平和垂直移动。
  • 表示坐标绝对差值的总和。
曼哈顿距离，也称为L1距离、出租车几何或城市街区距离，是测量空间中两点之间距离的一种方法。与更常见的欧几里得距离（直线）不同，曼哈顿距离是出租车在网格状布局的城市中行驶的距离，仅沿水平和垂直街道移动。
这个名字来源于纽约市曼哈顿的网格状街道布局。想象您想从点P到点Q。您不能穿过建筑物；您必须沿着街道走。您行驶的总距离——水平街区和垂直街区的总和——就是曼哈顿距离。
公式
对于n维空间中的两个点P = (p₁, p₂, ..., pₙ)和Q = (q₁, q₂, ..., qₙ)，曼哈顿距离(d₁)计算为：
d₁ = Σ |pᵢ - qᵢ| 从i=1到n
在具有点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)的2D平面中，公式简化为：d₁ = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|

基本示例

  • 对于P(1, 2)和Q(4, 6)，距离 = |1-4| + |2-6| = 3 + 4 = 7。
  • 在棋盘上，国王从一个方格到另一个方格的最小移动次数就是曼哈顿距离。

使用计算器的逐步指南

  • 输入两个点的坐标。
  • 确保两个点具有相同的维度。
  • 解释计算的距离和步骤。
我们的计算器简化了寻找曼哈顿距离的过程。按照以下步骤进行准确计算。
输入指南
1. 点1坐标：在第一个输入字段中，输入起始点的坐标。您可以使用逗号（例如：10, 20, 5）或空格（例如：10 20 5）来分隔数字。
2. 点2坐标：在第二个输入字段中，输入终点的坐标，使用相同的格式。
3. 维度一致性：关键的是，两个点必须具有相同数量的坐标（维度）。您无法计算2D点和3D点之间的距离。
计算和结果
  • 点击'计算距离'按钮执行计算。
  • '曼哈顿距离'将显示，显示最终数值结果。
  • '计算步骤'部分提供详细分解，显示每个维度的绝对差值以及它们如何相加，使过程易于理解和验证。

实际使用示例

  • 输入P：`1, 2`，Q：`3, 4` -> 步骤：|1-3| + |2-4| = 2 + 2 = 4。
  • 输入P：`-5, 8`，Q：`5, -2` -> 步骤：|-5-5| + |8-(-2)| = 10 + 10 = 20。

曼哈顿距离的实际应用

  • 游戏和机器人中的路径规划。
  • 机器学习中的特征距离。
  • 图像分析和计算机视觉。
曼哈顿距离不仅仅是一个抽象概念；它在各个领域都有实际应用。
计算机科学和AI
  • 机器人和游戏开发：用于网格上的路径规划。像A*这样的算法可以使用曼哈顿距离作为启发式来估计在具有基于网格移动的游戏中到达目的地的成本。
  • 机器学习：在分类和聚类中，曼哈顿距离可用于测量数据点之间的不相似性，特别是在高维空间中，欧几里得距离可能违反直觉（维度诅咒）。
图像处理
在计算机视觉中，它用于比较图像。通过将像素值视为高维空间中的坐标，曼哈顿距离可以测量两个图像之间的差异。
城市规划与物流
配送服务和城市规划者使用此度量来估计具有网格状街道网络的城市中的旅行时间和距离，优化路线和服务区域。

行业应用

  • 计算车最小移动次数的国际象棋AI。
  • 使用L1范数进行特征比较的K最近邻(KNN)算法。
  • 在过道中导航以拾取物品的自主仓库机器人。

曼哈顿距离与欧几里得距离

  • 欧几里得是'直线'距离。
  • 曼哈顿是基于网格或基于路径的距离。
  • 选择取决于问题的约束。
理解曼哈顿距离和欧几里得距离之间的差异是正确应用它们的关键。
核心差异
  • 欧几里得距离（L2范数）：这是两点之间的直线距离。这是最短的可能路径，使用毕达哥拉斯定理计算：sqrt(Σ(pᵢ - qᵢ)²)。
  • 曼哈顿距离（L1范数）：这是沿直角轴的距离。它总是大于或等于欧几里得距离。
何时使用哪个？
  • 当移动不受限制且可以在任何方向发生时，使用欧几里得距离。例如，计算飞机飞行路径的距离。
  • 当移动被约束到网格或正交方向时，使用曼哈顿距离。这在城市环境、电路板设计或生物信息学的序列比对中很常见。

比较示例

  • P(0,0)到Q(3,4)：欧几里得 = sqrt(3²+4²) = 5。曼哈顿 = |3-0|+|4-0| = 7。
  • 对于同一轴上的点，如P(0,0)和Q(5,0)，两个距离相同(5)。

数学推导和性质

  • 从向量范数的概念推导。
  • 满足度量性质：非负性、恒等性、对称性和三角不等式。
  • 几何上，'圆'是正方形。
曼哈顿距离是从向量范数导出的更广泛距离度量族的一部分。
向量范数
在数学中，范数是向量空间中为每个向量分配严格正长度或大小的函数。曼哈顿距离是从两个向量差值的L1范数导出的。
度量性质
曼哈顿距离是一个真正的度量，意味着它满足四个关键条件：
1. 非负性：d(P, Q) ≥ 0
2. 不可分辨性的恒等性：d(P, Q) = 0当且仅当P = Q
3. 对称性：d(P, Q) = d(Q, P)
4. 三角不等式：d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R)
几何解释
一个有趣的方面是曼哈顿几何中'圆'的形状。圆被定义为与中心点等距的点集。虽然在欧几里得几何中这是一个熟悉的圆形，但在曼哈顿几何中，它是一个旋转45度的正方形。

数学洞察

  • 与(0,0)曼哈顿距离为3的点集包括(3,0)、(2,1)、(1,2)、(0,3)、(-1,2)等，形成菱形形状（旋转的正方形）。
  • 三角不等式确保直接从P到R永远不会比通过中间点Q更长。