模逆计算器 | 拓展欧几里得算法工具

什么是模逆元？

定义与基本概念
数学基础
存在条件

整数a模m的模逆元是一个整数x，使得(a × x) ≡ 1 (mod m)。也就是说，a与x相乘后除以m余1。

数学定义

给定整数a和m，若存在x使a × x ≡ 1 (mod m)，则x为a模m的逆元。即a × x = 1 + k × m（k为整数）。

存在条件

仅当gcd(a, m) = 1时，a模m的逆元才存在。即a和m互质时逆元存在，且在模m意义下唯一。

实际应用

模逆元在密码学（如RSA加密、数字签名等）和线性同余方程求解中非常重要。

基础示例

3⁻¹ ≡ 4 (mod 11)，因为3 × 4 ≡ 1 (mod 11)
7⁻¹ ≡ 23 (mod 40)，因为7 × 23 ≡ 1 (mod 40)

拓展欧几里得算法

算法概述
分步过程
实现细节

拓展欧几里得算法是计算模逆元最有效的方法。它在求gcd(a, m)的同时，找到整数x和y使ax + my = gcd(a, m)。

算法过程

该算法通过维护商、余数和系数表，从gcd(a, m) = ax + my出发，逆向推导x和y。

时间复杂度

拓展欧几里得算法的时间复杂度为O(log min(a, m))，即使对大数也很高效，适合密码学应用。

优于其他方法

与穷举法相比，拓展欧几里得算法速度快且有系统，适合有效求解。

算法步骤

求3⁻¹ mod 11: 11 = 3×3 + 2, 3 = 2×1 + 1, 2 = 1×2 + 0
逆推：1 = 3 - 2×1 = 3 - (11 - 3×3)×1 = 4×3 - 1×11

分步计算指南

手动计算方法
验证过程
常见陷阱

理解手动计算模逆元有助于算法直观理解，也便于结果验证。

步骤1：判断逆元是否存在

首先用欧几里得算法计算gcd(a, m)。若gcd(a, m) ≠ 1，则不存在模逆元。

步骤2：应用拓展欧几里得算法

建立商(q)、余数(r)、系数(s, t)表，初始r₀ = a, r₁ = m, s₀ = 1, s₁ = 0, t₀ = 0, t₁ = 1，直到余数为0。

步骤3：提取逆元

当余数为1时，s即为模逆元。若为负数，加m变为正。结果唯一且在[1, m-1]范围内。

步骤4：验证

通过(a × 逆元) mod m验证，结果应为1。此步骤确保计算正确。

计算示例

求7⁻¹ mod 15: gcd(7,15) = 1，逆元存在
拓展算法得7 × 13 ≡ 91 ≡ 1 (mod 15)

实际应用与场景

密码学应用
数学问题求解
计算机科学应用

模逆元在数学、计算机科学和密码学中有广泛应用，是现代技术的重要工具。

RSA密码学

在RSA加密中，模逆元用于根据公钥计算私钥。RSA安全性依赖于大数模逆难以计算。

数字签名

DSA、ECDSA等数字签名算法在签名生成和验证中用到模逆元。逆元运算保证签名高效可靠。

线性同余方程求解

ax ≡ b (mod m)型线性同余方程可用模逆元求解，gcd(a, m) = 1时，x ≡ a⁻¹b (mod m)。

纠错码

在编码理论中，模逆元用于Reed-Solomon码等纠错方案，保障数据传输和存储可靠。

应用示例

RSA密钥生成p=7, q=11, e=3时需求3⁻¹ mod 60
解5x ≡ 3 (mod 7): x ≡ 5⁻¹ × 3 ≡ 3 × 3 ≡ 2 (mod 7)

进阶性质与数学理论

群论联系
计算复杂度
相关算法

模逆元的数学理论涉及抽象代数、群论和计算数论，揭示了深刻的数学结构。

群论基础

与m互质的整数在模m乘法下构成乘法群(ℤ/mℤ)*，模逆元即为该群的逆元。

欧拉定理应用

m为素数时，可用费马小定理：a⁻¹ ≡ a^(m-2) (mod m)。m为合数时，用欧拉定理：a⁻¹ ≡ a^(φ(m)-1) (mod m)，φ为欧拉函数。

计算考量

单个逆元用拓展欧几里得算法最优，多个逆元可用Montgomery技巧批量求逆。

与其他算法关系

模逆计算与连分数、中国剩余定理、多项式有限域运算等密切相关。

进阶示例

素数p=17时：3⁻¹ ≡ 3^15 ≡ 6 (mod 17)（费马小定理）
群(ℤ/15ℤ)* = {1,2,4,7,8,11,13,14}，模15乘法群

基础逆元计算

密码学应用

大数逆元计算

无逆元情况