球体方程直接源自三维距离公式。理解这一推导有助于明白球体方程为何采用标准形式。
距离公式推导：
三维空间中两点 (x₁,y₁,z₁) 和 (x₂,y₂,z₂) 之间的距离为：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]
对于球心为 (h,k,l)，半径为 r 的球体，球面上任意点 (x,y,z) 到球心的距离都等于 r：
r = √[(x-h)² + (y-k)² + (z-l)²]
两边平方消去根号：r² = (x-h)² + (y-k)² + (z-l)²
特殊情况：
- 原点单位球体：x² + y² + z² = 1（最基本形式）
- 坐标轴上的球体：中心为 (a,0,0) 时，方程为 (x-a)² + y² + z² = r²
- 坐标平面上的球体：中心为 (a,b,0) 时，方程为 (x-a)² + (y-b)² + z² = r²
展开形式：
标准形式可展开为：x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² + z² - 2lz + l² = r²
整理后：x² + y² + z² - 2hx - 2ky - 2lz + (h² + k² + l² - r²) = 0
该一般形式 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 可通过配方法还原为标准形式。