球坐标计算器 | 笛卡尔与球坐标转换

什么是球坐标？核心概念

三维系统，用距离和两个角度确定点的位置
包括半径 (r)、极角 (θ)、方位角 (φ)
适合描述球体、圆锥等对称形状

球坐标系是一种三维空间定位方法，结合一个距离和两个角度来确定点的位置。与笛卡尔 (x, y, z) 线性坐标不同，球坐标更适合描述具有球对称性的对象。

三要素

1. 半径 (r)：即径向距离，从原点 (0,0,0) 到该点的距离，r ≥ 0。

2. 极角 (θ)：又称倾角，从正 Z 轴到该点矢量的夹角，范围 0°~180° (或 0~π 弧度)。

3. 方位角 (φ)：又称方位，从正 X 轴在 XY 平面上到该点投影的夹角，范围 0°~360° (或 0~2π 弧度)。

关键坐标示例

原点: (r=0, θ=未定义, φ=未定义)
+Z 轴点: (r=k, θ=0°, φ=未定义)
+X 轴点: (r=k, θ=90°, φ=0°)
+Y 轴点: (r=k, θ=90°, φ=90°)

计算器使用步骤详解

选择转换方向
输入已知坐标并选择角度单位
准确解读计算结果

本计算器将转换过程简化为几个简单步骤，确保您快速获得精准结果。

1. 选择转换类型

首先选择“笛卡尔转球坐标”或“球坐标转笛卡尔”，输入区会自动调整。

2. 选择角度单位

选择“度”或“弧度”，影响角度输入和结果显示。

3. 输入坐标

笛卡尔转球坐标：填写 x、y、z。

球坐标转笛卡尔：填写 r (半径)、θ (极角)、φ (方位角)，确保角度单位一致。

4. 计算并查看结果

点击“计算”按钮，转换结果将在“结果”区显示。可用“重置”按钮清空所有输入。

实用示例

笛卡尔转球坐标: 输入 x=1, y=1, z=1, 单位为度 -> r=1.732, θ=54.74°, φ=45°
球坐标转笛卡尔: 输入 r=1, θ=90, φ=90, 单位为度 -> x=0, y=1, z=0

数学推导与公式

转换公式源自三角学
理解两种坐标系的关系
两种转换方向的关键方程

笛卡尔与球坐标的转换基于直角三角形三角学。通过将点投影到 XY 平面，可建立两个直角三角形，关联 (x, y, z) 与 (r, θ, φ)。

笛卡尔转球坐标公式

已知 (x, y, z)：

半径 (r)：三维勾股定理 r = √(x² + y² + z²)

极角 (θ)：z/r 的反余弦 θ = arccos(z / r)

方位角 (φ)：y/x 的反正切 φ = arctan(y / x)，需用 atan2(y, x) 保证象限正确。

球坐标转笛卡尔公式

已知 (r, θ, φ)：

x 坐标：x = r sin(θ) cos(φ)

y 坐标：y = r sin(θ) sin(φ)

z 坐标：z = r * cos(θ)

公式应用示例

示例: (x=1, y=√3, z=2)。r = √(1² + (√3)² + 2²) = √8 = 2√2。θ = arccos(2 / 2√2) = 45°。φ = arctan(√3 / 1) = 60°。
示例: (r=4, θ=30°, φ=60°)。x = 4 * sin(30) * cos(60) = 1。y = 4 * sin(30) * sin(60) = √3。z = 4 * cos(30) = 2√3。

球坐标的实际应用

广泛用于物理、工程和地理
简化球对称问题
GPS、天文学和三维建模基础

球坐标不仅是数学工具，更广泛应用于科学和技术领域。

物理与工程

电磁学：描述电磁场和天线辐射模式更适合用球坐标。

量子力学：原子轨道的波函数用球坐标表达。

流体力学：分析球体周围流体流动。

地理与天文学

全球定位系统 (GPS)：地理坐标系（纬度、经度）即球坐标应用。纬度对应极角 (θ)，经度对应方位角 (φ)。

天体测绘：天文学家用类似球坐标的系统标记星体位置。

计算机图形与机器人

三维建模：用于建模球体和点光源效果。

机器人学：描述带旋转关节的机械臂位置与姿态。

行业应用示例

设计卫星天线聚焦信号。
计算行星引力场。
绘制洲际飞机航线。

常见误区与特殊情况

澄清 θ 和 φ 的定义
原点和 Z 轴上的无定义角
区分数学与物理惯例

球坐标虽强大，但有一些细节易混淆，理解这些细节有助于正确使用。

原点 (0,0,0)

在原点，半径 r=0，此时极角 θ 和方位角 φ 无定义，因为没有唯一方向。

Z 轴上的点

对于 Z 轴上的点 (x=0, y=0)，方位角 φ 无定义。通常约定为 0。

数学与物理惯例

需注意不同领域定义差异。本计算器采用数学惯例：θ 为 Z 轴夹角，φ 为 X 轴起始的方位角。物理中常将 θ 作为方位角，φ 作为倾角。请根据实际场景确认。

边界情况示例

输入: (x=0, y=0, z=5) -> r=5, θ=0°, φ 无定义 (通常显示为 0°)。
输入: (x=0, y=0, z=-5) -> r=5, θ=180°, φ 无定义 (通常显示为 0°)。
注意: 有些系统定义 θ 从 XY 平面起算，而非 Z 轴。

笛卡尔点转换