QR分解计算器

线性代数与矩阵

将任意矩阵A分解为A = QR的乘积，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。这一基本的矩阵分解对于求解线性方程组、特征值问题和最小二乘近似至关重要。

每行用空格分隔实数，行与行之间用换行分隔。

QR分解示例

尝试这些示例矩阵以更好地理解QR分解

基础2×2矩阵

基础2×2矩阵

使用格拉姆-施密特的简单2×2矩阵分解

大小: 2×2

方法: 格拉姆-施密特过程

1 0
0 1

3×2矩形矩阵

3×2矩形矩阵

行数多于列数的超定系统

大小: 3×2

方法: 格拉姆-施密特过程

1 2
3 4
5 6

3×3方阵

3×3方阵

满秩方阵分解

大小: 3×3

方法: Householder反射

1 2 3
4 5 6
7 8 10

对称矩阵

对称矩阵

对称正定矩阵

大小: 3×3

方法: 格拉姆-施密特过程

4 2 1
2 3 0.5
1 0.5 2
其他标题
理解QR分解：全面指南
掌握QR矩阵分解及其在线性代数中的应用

什么是QR分解？

  • 数学定义
  • 几何解释
  • 唯一性性质
QR分解是一种基本的矩阵分解技术，将任意实矩阵A分解为两个矩阵的乘积：Q（正交矩阵）和R（上三角矩阵）。数学上表示为A = QR。
数学定义
对于m×n矩阵A，若m ≥ n且列满秩，QR分解产生m×n的正交矩阵Q和n×n的上三角矩阵R，使A = QR。正交矩阵Q满足Q^T Q = I，即其列为正交归一基。
几何解释
几何上，QR分解可视为为矩阵A的列空间寻找一个正交归一基。Q矩阵表示该正交基，R矩阵包含A原始列在该基下的坐标。
唯一性性质
当A列满秩且要求R的对角元为正时，QR分解是唯一的。这一唯一性使QR分解在数值算法和应用中尤为重要。

QR分解示例

  • A = [1 2; 3 4] = Q × R，其中Q = [0.316 0.949; 0.949 -0.316]，R = [3.162 4.427; 0 0.632]
  • 对于单位矩阵I = [1 0; 0 1]，QR分解结果Q = I，R = I

QR分解分步指南

  • 格拉姆-施密特过程
  • Householder反射法
  • Givens旋转法
QR分解有多种计算方法，各有优缺点和数值特性。我们将介绍三种常见方法：格拉姆-施密特过程、Householder反射和Givens旋转。
格拉姆-施密特过程
经典的格拉姆-施密特过程最为直观。它逐步正交化A的各列。对每一列，减去其在所有已处理列上的投影，然后归一化。这样得到Q的各列，相应系数构成上三角矩阵R。
Householder反射法
Householder反射法更数值稳定。该方法通过一系列正交变换（反射）系统地将对角线下方元素变为零。每个Householder反射都旨在消除特定元素，同时保持变换的正交性。
Givens旋转法
Givens旋转通过一系列平面旋转将特定位置的元素变为零。该方法适用于稀疏矩阵或只需消除部分元素的情况。每次Givens旋转仅影响两行，适合并行计算。

格拉姆-施密特算法步骤

  • 步骤1：取第一列a₁，归一化得q₁ = a₁/||a₁||
  • 步骤2：减去a₂在q₁上的投影，再归一化得q₂
  • 步骤3：对所有列重复此过程，构建Q和R矩阵

QR分解的实际应用

  • 线性方程组求解
  • 最小二乘问题
  • 特征值计算
QR分解在工程、数据科学和计算数学中有广泛应用。其稳定性和正交性使其非常适合解决各种数学问题。
线性方程组求解
QR分解为求解线性方程组Ax = b提供了高效且数值稳定的方法。将A分解为QR后，系统变为QRx = b，先计算Q^T b，再用回代法解上三角系统Rx = Q^T b。
最小二乘问题
在超定系统（方程多于未知数）中，QR分解为最小二乘解提供基础。解为x = R^(-1) Q^T b，使Ax ≈ b的残差平方和最小。
特征值计算
QR分解是QR算法的基础，是计算矩阵特征值的重要方法。该算法反复进行QR分解和矩阵乘法，最终收敛到可直接读取特征值的形式。

行业应用

  • 信号处理：MIMO通信系统中的QR分解
  • 机器学习：线性回归和主成分分析中的QR分解
  • 计算机图形学：使用Q矩阵进行正交变换

常见误区与正确方法

  • 秩亏问题
  • 数值稳定性
  • 实现陷阱
虽然QR分解是一种稳健的技术，但用户应注意一些常见误区和潜在陷阱。了解这些问题有助于正确实现和解释结果。
秩亏问题
常见误区是认为任何矩阵都能进行QR分解。实际上，若矩阵秩亏（列线性相关），标准QR分解可能失败或结果无意义，此时需采用带列主元的QR分解等改进方法。
数值稳定性
许多人认为所有QR分解方法数值稳定性相同。实际上，经典格拉姆-施密特过程易受舍入误差影响，数值稳定性较差。改进的格拉姆-施密特和Householder反射更稳定。
实现陷阱
常见错误是混淆“瘦”QR分解（Q为m×n）与“全”QR分解（Q为m×m）。实际应用中，瘦QR分解更高效且足够。还要注意R对角元接近零时，后续计算可能出现数值问题。

最佳实践

  • 错误：对病态矩阵使用经典格拉姆-施密特
  • 正确：对数值不稳定问题用Householder反射或改进格拉姆-施密特
  • 提示：始终检查R的条件数以评估数值可靠性

数学推导与高级示例

  • 理论基础
  • 复数矩阵情形
  • 计算复杂度
QR分解的数学基础源于线性代数的基本概念，包括正交性、向量空间和矩阵范数。理解理论基础有助于实现和应用。
理论基础
格拉姆-施密特定理保证了QR分解的存在性。对于任意列线性无关的矩阵A，存在唯一的QR分解，其中Q列正交归一，R对角元为正。该过程为A的列空间构造正交归一基。
复数矩阵情形
QR分解可自然扩展到复数矩阵，此时Q为酉矩阵（Q Q = I，Q为共轭转置），方法类似，但内积和范数需用复数运算。这对信号处理和量子力学应用至关重要。
计算复杂度
QR分解的计算复杂度取决于所用方法。格拉姆-施密特为O(mn²)，Householder反射为O(mn² - n³/3)。大矩阵时，算法选择对效率影响显著。并行实现可大幅缩短计算时间。

高级计算示例

  • Householder矩阵: H = I - 2uu^T/||u||²，其中u为Householder向量
  • 1000×500矩阵：Householder约需1.67亿次运算，格拉姆-施密特约2.5亿次
  • 内存需求：瘦QR为O(mn)，全QR为O(m²)