三角恒等式计算器

已知一个三角函数值，计算全部六个三角函数

选择已知的三角函数，输入其值并选择象限，即可求出所有其他三角函数的值。

示例

点击任一示例加载到计算器。

已知 sin(θ) 在第二象限

已知 sin(θ) 在第二象限

已知 sin(θ) = 0.5 且在第二象限，求所有三角函数值。

函数: SIN(θ)

值: 0.5

象限: 2

已知 cos(θ) 在第四象限

已知 cos(θ) 在第四象限

已知 cos(θ) = 0.8 且在第四象限，求所有三角函数值。

函数: COS(θ)

值: 0.8

象限: 4

已知 tan(θ) 在第三象限

已知 tan(θ) 在第三象限

已知 tan(θ) = 1.2 且在第三象限，求所有三角函数值。

函数: TAN(θ)

值: 1.2

象限: 3

已知 sec(θ) 在第一象限

已知 sec(θ) 在第一象限

已知 sec(θ) = 2 且在第一象限，求所有三角函数值。

函数: SEC(θ)

值: 2

象限: 1

其他标题
理解三角恒等式：全面指南
探索三角函数之间的基本关系及其在数学问题中的应用。

什么是三角恒等式？

  • 描述三角函数关系的基本等式
  • 对所有变量值都成立
  • 三角学和微积分的基础
三角恒等式是指对所有角度θ都成立的三角函数等式。它们是简化复杂三角表达式、解方程和微积分中积分非标准函数的基本工具。
核心恒等式类别
倒数恒等式：定义函数对之间的关系。例如 csc(θ) = 1/sin(θ)。
商恒等式：用两个函数表示一个函数。例如 tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)。
毕达哥拉斯恒等式：由单位圆上的毕达哥拉斯定理推导而来，是最重要的恒等式之一（如 sin²(θ) + cos²(θ) = 1）。

基础恒等式示例

  • sin²(θ) + cos²(θ) = 1
  • 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
  • tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

三角恒等式计算器使用步骤

  • 选择已知函数及其值
  • 指定角度所在象限
  • 解读完整结果
本计算器简化了由单一信息推导全部三角函数值的过程。请按以下步骤操作以获得准确结果。
输入指南：
1. 选择已知函数：从下拉菜单中选择你已知的函数（sin, cos, tan等）。
2. 输入函数值：输入所选函数对应的数值。确保其在有效范围内（如sin和cos为-1到1）。
3. 选择象限：选择角θ所在的象限（I、II、III或IV）。这一步很关键，因为它决定了其他函数的正负号。可用‘ASTC’法则记忆各象限正负。
结果解读：
计算器会根据你的输入输出全部六个三角函数的值，以及主值角的度数和弧度。

实际用例示例

  • 输入：sin(θ) = 0.5，第二象限 -> 输出：cos(θ) = -0.866，tan(θ) = -0.577 等。
  • 输入：tan(θ) = -1，第四象限 -> 输出：sin(θ) = -0.707，cos(θ) = 0.707 等。

三角恒等式的实际应用

  • 物理与工程：分析波动、振荡和交流电路
  • 计算机图形学：三维建模、旋转与变换
  • 导航与天文：计算位置和距离
三角恒等式不仅是抽象的数学概念，在众多科学和技术领域都至关重要。
工程与物理：
在电气工程中，三角恒等式用于分析交流电路。在机械工程和物理学中，它们描述谐波运动和波现象，从钟摆到光波、声波。
数字与创意领域：
在计算机图形学中，恒等式用于三维空间中物体的旋转和变换。游戏开发者和动画师大量依赖这些恒等式。音乐合成中，三角函数用于建模声波，恒等式帮助合成不同声音。
导航与测量：
GPS系统、天文学和土地测量都用到三角测量法，这种方法高度依赖三角关系来确定距离和位置。

行业应用示例

  • 用正弦和余弦建模弹簧振动。
  • 计算光线通过棱镜折射的角度。
  • 在电子游戏中旋转角色。

常见误区与正确方法

  • 理解象限的重要性
  • 正确应用毕达哥拉斯恒等式
  • 避免常见代数错误
解三角问题需格外细心。以下是常见陷阱及避免方法。
象限不是可选项
常见错误是忽略象限。例如 cos²(θ) = 0.25，则 cos(θ) 可能为0.5或-0.5，象限决定正确符号。余弦在第一、四象限为正，二、三象限为负。忽略此点会导致所有函数结果错误。
开方号的正负歧义
用毕达哥拉斯恒等式如 sin²(θ) = 1 - cos²(θ) 时，需开方。记住 √(x²) = |x|，符号由象限决定。
数值范围错误
sin(θ) 或 cos(θ) 的值必须在-1到1之间。csc(θ) 或 sec(θ) 的值必须≥1或≤-1。超出范围是常见错误。

错误检查示例

  • 错误：sin(θ) = 0.8 且在第四象限（sin在第四象限为负）。
  • 正确：sin(θ) = -0.8 且在第四象限。
  • 错误：cos(θ) = 1.5（超出范围）。
  • 正确：cos(θ) = 0.5。

数学推导与公式

  • 从单位圆推导恒等式
  • 已知值的逐步计算
  • 各函数推导公式
这些计算的核心在于毕达哥拉斯恒等式，其来源于单位圆中斜边为1的直角三角形。
推导示例：已知 sin(θ)
1. 求 cos(θ)：用 cos²(θ) + sin²(θ) = 1，所以 cos(θ) = ±√(1 - sin²(θ))。符号由象限决定。
2. 求 tan(θ)：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)。
3. 求倒数：csc(θ) = 1/sin(θ)，sec(θ) = 1/cos(θ)，cot(θ) = 1/tan(θ)。
推导示例：已知 tan(θ)
1. 求 sec(θ)：用 sec²(θ) = 1 + tan²(θ)，所以 sec(θ) = ±√(1 + tan²(θ))。符号由象限决定。
2. 求 cos(θ)：cos(θ) = 1 / sec(θ)。
3. 求 sin(θ)：sin(θ) = tan(θ) * cos(θ)。
4. 求倒数：csc(θ) = 1/sin(θ)，cot(θ) = 1/tan(θ)。

计算公式示例

  • 若 sin(θ) = 3/5 且在第一象限，则 cos(θ) = √(1 - (3/5)²) = 4/5。
  • 若 tan(θ) = -5/12 且在第二象限，则 sec(θ) = -√(1 + (-5/12)²) = -13/12。