三角函数计算器

计算给定角度（度或弧度）的全部六个三角函数。

输入一个角度并选择其单位（度或弧度），即可计算正弦、余弦、正切、余割、正割和余切的值。适用于学生、工程师及所有三角学相关人士。

实用示例

通过这些示例了解如何在常见角度和场景下使用三角函数计算器。

30度的正弦值

正弦

计算30度角的正弦值，这是直角三角形中常见的数值。

角度: 30

单位: 度

π/4弧度的余弦值

余弦

计算π/4弧度（等于45度）角的余弦值。

角度: 0.785398

单位: 弧度

90度的正切值

正切

说明正切函数在90度时未定义的情况。

角度: 90

单位: 度

π/2弧度的余割值

余割

计算π/2弧度（90度）角的余割（正弦的倒数）值。

角度: 1.570796

单位: 弧度

其他标题
理解三角函数：全面指南
深入了解六个三角函数、其性质、应用及背后的数学原理。本指南将帮助你从基础到高级掌握三角学。

什么是三角函数？

  • 三角学的核心概念
  • 直角三角形与SOHCAHTOA记忆法
  • 单位圆与函数定义
三角函数是建立直角三角形角度与边长关系的基本数学函数。六个主要函数为正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）及其倒数：余割（csc）、正割（sec）、余切（cot）。它们在物理、工程、计算机图形学和导航等领域至关重要。
SOHCAHTOA：直角三角形记忆法
对于直角三角形中的角θ，主要三角函数由三边长度的比值定义：对边、邻边和斜边。SOHCAHTOA记忆法帮助记住这些比值：正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边。
单位圆
单位圆（半径为1的圆）为三角函数提供了超越直角三角形的更一般定义。对于单位圆上与角θ对应的点(x, y)，定义为：sin(θ)=y，cos(θ)=x，tan(θ)=y/x。这种方式可计算任意角度（包括大于90°或小于0°）的三角值。

基本比值示例

  • 30-60-90三角形中，sin(30°)=1/2
  • 单位圆上θ=45°（π/4弧度）时，点为(√2/2, √2/2)，所以cos(45°)=√2/2

三角函数计算器使用分步指南

  • 输入角度值
  • 选择正确的角度单位
  • 解读计算结果
我们的计算器简化了三角值的查找过程。按照以下步骤可快速高效获得准确结果。
步骤1：输入角度
在“角度”输入框中，输入你要计算的角度数值。计算器支持正负值。
步骤2：选择度或弧度
选择正确的角度单位至关重要。使用“角度单位”选择器选择“度”或“弧度”。此选择会显著影响结果，例如sin(90)在度中为1，在弧度中约为0.89。
步骤3：选择函数并计算
从下拉菜单中选择所需函数（如正弦、余弦、正切）。点击“计算”按钮查看结果。“重置”按钮可清空所有字段以便新计算。

计算示例

  • 输入：角度=45，单位=度，函数=正切 -> 结果：1
  • 输入：角度=1.5708，单位=弧度，函数=正弦 -> 结果：≈1（π/2的近似值）

三角函数的实际应用

  • 物理与工程
  • 计算机图形与游戏开发
  • 导航与天文学
三角学不仅是学术科目，更是解决实际问题的工具。其应用广泛多样。
物理：分析波动与振荡
正弦和余弦函数是描述周期现象的基础。它们可建模声波、光波、简谐运动（如钟摆）和交流电路。正弦波的形状完美反映了这些振荡的本质。
计算机图形学：渲染三维世界
在视频游戏和计算机生成图像（CGI）中，三角学用于计算物体旋转、透视和光照。当游戏角色转身时，其新位置和朝向均通过三角函数计算。
导航：定位你的方向
GPS系统、航空和天文学依赖三角学确定位置和距离。通过三角测量和三角原理，我们可精确定位地球上的位置或测量天体间距离。

应用案例

  • 建模交流电压信号：V(t) = V_max * sin(ωt + φ)
  • 通过测量仰角计算建筑物高度。

常见误区与正确方法

  • 混淆度与弧度
  • 误解未定义值
  • 倒数函数计算错误
避免常见错误是掌握三角学的关键。理解这些陷阱可确保你的计算始终准确。
角度单位的重要性
最常见的错误是使用了错误的角度单位。数学公式和编程库通常默认为弧度。务必确认所需单位。记住换算关系：180°=π弧度。
为什么90°的正切未定义？
tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)。当θ=90°时，cos(90°)=0。除以零在数学上未定义，因此tan(90°)未定义。同理，cot(0°)未定义，因为sin(0°)=0。计算器会正确显示“未定义”。
倒数函数与反三角函数的区别
不要将倒数函数（csc、sec、cot）与反三角函数（arcsin、arccos、arctan）混淆。余割是1/sin(θ)，而arcsin(x)是正弦为x的角度，两者本质不同。

纠错示例

  • 错误：cos(180)=-0.598（按弧度计算）。正确：cos(180°)=-1（按度计算）。
  • sec(90°)未定义，因为它是1/cos(90°)。

数学推导与性质

  • 主要三角恒等式
  • 函数的周期性与对称性
  • 三角函数的微积分
更深入的理解来自于探索三角函数的数学性质和恒等式。
毕达哥拉斯恒等式
三角恒等式的基石是sin²(θ)+cos²(θ)=1。该恒等式直接源自单位圆内直角三角形的毕达哥拉斯定理（a²+b²=c²），并引出另外两个重要恒等式：1+tan²(θ)=sec²(θ)和1+cot²(θ)=csc²(θ)。
周期性与奇偶性
所有三角函数都是周期性的。正弦、余弦、余割和正割的周期为360°（2π弧度），即其值每360°重复一次。正切和余切的周期为180°（π弧度）。余弦和正割是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)），其余四个为奇函数（如sin(-θ)=-sin(θ)）。
微积分中的导数
在微积分中，正弦和余弦的导数是基础：d/dx(sin(x))=cos(x)，d/dx(cos(x))=-sin(x)。这些关系对于研究周期过程的变化率至关重要。

性质示例

  • sin²(45°)+cos²(45°)=(√2/2)²+(√2/2)²=0.5+0.5=1
  • y=cos(x)的图像关于y轴对称。