双角公式的数学基础在于角和公式。理解其推导有助于掌握结构并正确记忆和应用。
角和公式推导：
起点： 角和公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)，cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)。
令A = B = θ： 代入角和公式得 sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)，即 sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
余弦同理： cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)，即 cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)。
正切同理： 用tan(A + B) = [tan(A) + tan(B)]/[1 - tan(A)tan(B)]，A = B = θ 得 tan(2θ) = 2tan(θ)/[1 - tan²(θ)]。
等价形式与恒等式：
余弦等价式： 利用毕达哥拉斯恒等式 sin²(θ) + cos²(θ) = 1，可得 cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1 和 cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ)。
复指数联系： 用欧拉公式 e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)，可得 e^(2iθ) = cos(2θ) + i sin(2θ)，为双角公式提供另一视角。
微积分中的高级应用：
积分技巧： 双角公式是计算含三角函数积分（尤其降幂法和分部积分）的关键。
微分方程： 物理和工程中的许多微分方程含三角函数，双角公式有助于简化。