双曲函数计算器

一个可通过单一输入值'x'计算全部六个双曲函数的在线工具。

双曲函数在科学和工程领域中非常重要。本计算器帮助您快速准确地获得它们的值。

实用示例

通过加载这些预设示例，探索常见场景。

计算 x = 1

示例

标准正值。

x: 1

计算 x = 0

示例

某些函数未定义的临界点。

x: 0

计算 x = -2.5

示例

负值，展示函数对称性。

x: -2.5

计算 x = 1.25

示例

常用的小数值。

x: 1.25

其他标题
理解双曲函数：全面指南
探索双曲正弦（sinh）、双曲余弦（cosh）、双曲正切（tanh）及其倒数函数的定义、性质和应用。

什么是双曲函数？

  • 了解sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)的e^x定义
  • 理解双曲函数与三角函数的关系
  • 认识倒数函数：csch, sech, coth
双曲函数与标准三角函数有许多相似之处，但它们是用指数函数e^x定义的，而不是圆。它们的名称来源于与双曲线的几何关系。
核心定义：
  • 双曲正弦（sinh x）： (e^x - e^-x) / 2
  • 双曲余弦（cosh x）： (e^x + e^-x) / 2
  • 双曲正切（tanh x）： sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

基本概念

  • cosh²(x) - sinh²(x) = 1（这是一个关键恒等式，类似于sin²(x) + cos²(x) = 1）
  • cosh(x)的图像形成悬链线，即悬挂链条的形状。

双曲函数计算器使用指南

  • 如何输入值'x'
  • 执行计算
  • 解读完整结果
我们的计算器简化了通过单一输入计算全部六个主要双曲函数的过程。
输入指南：
1. 输入x的值：在指定输入框中输入您要计算的数值。
2. 点击计算：按下“计算”按钮生成结果。
理解输出：
计算器将显示sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)、csch(x)、sech(x)、coth(x)的数值。对于x=0，csch(x)和coth(x)将显示为未定义。

使用示例

  • 输入x=0 -> 结果：sinh(0)=0, cosh(0)=1, tanh(0)=0，其它未定义。
  • 输入x=1 -> 结果：sinh(1)≈1.1752, cosh(1)≈1.5431, 等等。

双曲函数的实际应用

  • 工程：描述悬挂电缆的形状（悬链线）
  • 物理：狭义相对论中的速度计算（快度）
  • 微积分：解某些线性微分方程
双曲函数在众多科学和工程领域中出现。
建筑与工程：
cosh(x)函数精确描述了悬链线——即仅在两端支撑下重链条或电缆的形状。这在悬索桥和电力线中很常见。
物理与相对论：
在爱因斯坦的狭义相对论中，双曲函数用于将速度与称为快度的参数联系起来，从而简化了参考系变换的计算。

实际示例

  • 圣路易斯拱门是一个扁平的悬链线。
  • 拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系下的解可涉及双曲函数。

常见误区与正确方法

  • 混淆双曲函数与三角函数
  • 倒数函数计算错误
  • coth(x)和csch(x)的定义域错误
虽然名称相似，双曲函数与三角函数有本质区别。
误区一：恒等式相同
  • 错误：认为cosh²(x) + sinh²(x) = 1。这是三角恒等式。
  • 正确：双曲函数的基本恒等式是cosh²(x) - sinh²(x) = 1。
误区二：定义域错误
  • 错误：在不了解极限的情况下计算coth(0)或csch(0)。
  • 正确：由于sinh(0) = 0，倒数函数coth(x) = cosh(x)/sinh(x)和csch(x) = 1/sinh(x)在x=0时未定义，因为分母为零。

纠正示例

  • tanh(x)始终在-1到1之间。
  • cosh(x)对于所有实数x都大于等于1。

数学推导与性质

  • 双曲函数的导数与积分
  • 与复数及欧拉公式的关系
  • 关键恒等式及其证明
双曲函数的导数非常简单且循环。
导数：
  • d/dx sinh(x) = cosh(x)
  • d/dx cosh(x) = sinh(x)（注意：与三角函数不同，没有负号！）
与复数的联系（欧拉公式）
双曲函数通过复数与三角函数相关：
  • cosh(ix) = cos(x)
  • sinh(ix) = i * sin(x)