调和平均数计算器

计算一组数字的调和平均数，适合速率平均。

输入一组数字以计算其调和平均数。这种平均数对于速度等速率非常重要。

输入逗号或空格分隔的数字。所有值必须为正数。

示例

点击示例将其数据加载到计算器中。

平均速度计算

平均速度计算

计算一次旅程中两段不同速度下的平均速度（距离相同）。

数字: [60, 40]

财务比率平均

财务比率平均

对多个投资的市盈率（P/E）进行平均。

数字: [20, 30]

基础整数集合

基础整数集合

用一组整数进行简单计算。

数字: [2, 4, 8]

带小数的数据集

带小数的数据集

对一组小数计算调和平均数。

数字: [1.5, 2.5, 3.5, 4.5]

其他标题
理解调和平均数：全面指南
了解什么是调和平均数、它与算术平均数等其他平均数的区别，以及其在速率平均等特定场景下的应用。

什么是调和平均数？数学基础与概念

  • 调和平均数是一种数值平均方式。
  • 它的计算方法是：数值个数除以其倒数之和。
  • 对于速率和比率的平均最为合适。
调和平均数是三大毕达哥拉斯平均数之一，另外两个是算术平均数和几何平均数。虽然算术平均数最常见，但调和平均数专为速率平均设计。
一组 n 个数（x₁, x₂, ..., xₙ）的调和平均数（H）公式为：H = n / (Σ(1/xᵢ))。与算术平均数相比，它对较大值的权重较小，对较小值的权重较大。若有零或负数则无法使用。
主要特征
  • 速率专用：非常适合平均速度等以比率表示的数据（如距离/时间）。
  • 小值主导：调和平均数对数据集中的小值极为敏感。
  • 毕达哥拉斯不等式：对于任意一组正数，调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数（H ≤ G ≤ A）。

基础示例

  • 1、2、4 的调和平均数为 3 / (1/1 + 1/2 + 1/4) = 3 / (1.75) ≈ 1.714。
  • 1、2、4 的算术平均数为 (1+2+4)/3 = 7/3 ≈ 2.333。
  • 对于非全等数，调和平均数总是三大平均数中最小的。

调和平均数计算器使用步骤详解

  • 掌握数字序列的输入格式。
  • 了解有效数据输入的要求。
  • 理解结果及公式分解。
我们的计算器简化了调和平均数的计算过程，提供即时且准确的结果。
输入指南：
  • 数字序列：输入用逗号（如 10, 20, 30）或空格（如 10 20 30）分隔的数字，计算器均可识别。
  • 数据要求：所有数字必须为正且非零。若输入零、负数或非数字文本，计算器会提示错误。
结果解读：
结果卡片会显示：
  • 调和平均数：最终计算出的平均值。
  • 数字个数：您输入的总数（n）。
  • 倒数之和：公式分母中用到的倒数之和（Σ(1/xᵢ)）。

使用示例

  • 计算 10、20、30 的调和平均数：输入 '10, 20, 30'。结果：≈ 16.364。
  • 对于集合 {2, 4, 8}：输入 '2, 4, 8'。结果：≈ 3.429。

调和平均数的实际应用

  • 物理：计算旅程的平均速度。
  • 金融：平均市盈率等估值倍数。
  • 其他领域：水文学、群体遗传学、计算机科学等。
调和平均数不仅是理论概念，在许多实际领域中对于速率平均至关重要。
平均速度：
这是经典案例。如果你以速度 x 行驶一段距离，再以速度 y 返回同样距离，整个旅程的平均速度就是 x 和 y 的调和平均数。例如，去某地 100 英里以 50 英里/小时，返回以 100 英里/小时，则全程平均速度为 50 和 100 的调和平均数，约为 66.67 英里/小时，而不是算术平均数 75 英里/小时。
金融：
在金融领域，调和平均数用于平均市盈率（P/E）等倍数。如果投资者分批以固定金额买入股票，平均每股成本就是价格的调和平均数，比算术平均更准确。
电子学：
计算多个并联电阻的总电阻时，所用公式等价于电阻的调和平均数再除以电阻数量。

实际场景

  • 一辆车前 10 公里以 60 公里/小时，后 10 公里以 40 公里/小时，平均速度为 60 和 40 的调和平均数，即 48 公里/小时。
  • 你用 1000 美元分别投资市盈率为 20 和 30 的股票，投资组合的平均市盈率为 20 和 30 的调和平均数，即 24。

常见误区与正确方法

  • 将调和平均数与算术平均数混淆。
  • 错误处理零或负值。
  • 忽视调和平均数对小数值的敏感性。
最常见的错误是用熟悉的算术平均数代替应使用调和平均数，导致结论错误。
速率问题中算术平均与调和平均
  • 错误：去商店 30 英里/小时，回来 60 英里/小时，直接算 (30 + 60) / 2 = 45 英里/小时是错的，因为两段所用时间不同。
  • 正确：距离相等时，必须用调和平均数。H = 2 / (1/30 + 1/60) = 2 / (0.05) = 40 英里/小时。真正的平均速度是 40 英里/小时。
对小值的敏感性
调和平均数对数据集中的最小值极为敏感。一个很小的数会极大拉低调和平均数，这种影响远大于对算术平均数的影响，因为小数的倒数很大，会主导公式分母。

纠正示例

  • 数据集 {1, 10, 100}：算术平均数 = 37，调和平均数 ≈ 2.7。小值 '1' 影响极大。
  • 数据集 {10, 100, 1000}：算术平均数 = 370，调和平均数 ≈ 27.3。调和平均数仍最小，但偏斜较小。

数学推导与性质

  • 与其他毕达哥拉斯平均数的关系。
  • 加权调和平均数的概念。
  • 其代数结构与起源。
调和平均数是三大经典平均数之一，三者之间有深刻的数学联系。
毕达哥拉斯平均数不等式
对于任意一组正数 {x₁, x₂, ..., xₙ}，有：调和平均数（H）≤ 几何平均数（G）≤ 算术平均数（A）。仅当所有数都相等时三者相等。
加权调和平均数
在某些值权重不同的情况下，可用加权调和平均数。公式为：加权 H = (Σwᵢ) / (Σ(wᵢ/xᵢ))，其中 wᵢ 为权重，xᵢ 为对应值。
代数定义
调和平均数是倒数的算术平均数的倒数。这一定义突显了其与算术平均数的反向关系，也解释了其适合速率平均的原因。

数学性质

  • 集合 {2, 8}：A = (2+8)/2 = 5；G = √(2*8) = 4；H = 2/(1/2+1/8) = 3.2。即 A > G > H。
  • 集合 {5, 5, 5}：A = 5，G = 5，H = 5。三者相等。