线性插值计算器

估算两已知数据点之间的未知数值。

输入两个点的坐标和第三个点的x坐标，通过线性插值找到其对应的y值。

示例

点击任一示例将其数据加载到计算器。

温度估算

标准

估算海拔1500米处的温度。

P₁: (1000, 15)

P₂: (2000, 10)

求x时: 1500

股票价格分析

标准

估算上午10:30的股票价格。

P₁: (10, 250)

P₂: (11, 255)

求x时: 10.5

销售增长预测

标准

预测第5个月的销售额。

P₁: (3, 12000)

P₂: (6, 18000)

求x时: 5

科学数据插值

标准

求25米深度处的压力。

P₁: (10, 2.0)

P₂: (50, 6.0)

求x时: 25

其他标题
理解线性插值：全面指南
了解线性插值的原理、数学公式及其在各领域的广泛应用。

什么是线性插值？

  • 一种估算新数据点的方法。
  • 假设已知点之间存在线性关系。
  • 数据分析和函数近似的基础。
线性插值是一种数学技术，用于在一组已知离散数据点的范围内查找新数据点。它假设所估算的值在两个已知点之间呈直线变化。这是最简单的插值方法之一，因其易于实现和计算而被广泛应用。
核心概念
假设你有两个点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)。线性插值允许你在x₁和x₂之间选择任意x值，并找到该点在两点连线上对应的y值。就像在数据之间‘读出’新值一样。

概念示例

  • 如果1000米处温度为10°C，2000米处为5°C，则可估算1500米处为7.5°C。
  • 如果植物在第5天高2厘米，第9天高4厘米，则可插值得出第7天高3厘米。

线性插值计算器使用步骤

  • 输入已知数据点的坐标。
  • 指定要查找的点。
  • 理解计算结果及其含义。
我们的计算器简化了流程，但理解步骤有助于更好地使用。
输入字段
1. 点1 (x₁, y₁)： 输入第一个已知数据点的坐标，作为起点。
2. 点2 (x₂, y₂)： 输入第二个已知数据点的坐标，作为终点。
3. 待求值 (x)： 输入要查找y值的x坐标，建议在x₁和x₂之间。
计算与输出
点击“计算”后，工具会立即给出“插值值 (y)”，即你输入的x值在两点连线上对应的y值。

实际用法

  • 已知P1=(2, 4)，P2=(6, 8)，x=4时y=6。
  • 已知P1=(0, 0)，P2=(10, 20)，x=5时y=10。

线性插值的实际应用

  • 金融：估算利率或股票价格。
  • 计算机图形学：图像缩放与平滑过渡。
  • 工程与科学：实验数据分析。
线性插值不仅是理论概念，在实际中有广泛用途。
在金融领域
分析师用它估算收益率曲线上的数值，或在离散时刻间推算股票价格。
在计算机图形学
图像缩放时，线性插值（或更复杂的双线性插值）用于计算新像素的颜色值。
在科学与工程领域
实验数据以间隔采集（如每小时温度），可用插值法估算任意时刻的数值。

行业应用

  • 根据2010和2020年人口普查数据，估算2015年人口。
  • 根据两次读数，计算某时刻油箱的油量。

常见误区与正确方法

  • 插值与外推的区别。
  • 线性假设。
  • 何时不宜用线性插值。
插值与外推
常见错误是将插值与外推混淆。插值是在已知数据范围内（x₁和x₂之间）估算数值。外推则是在该范围外估算，可靠性较低，因为假设线性趋势无限延续。
线性假设
只有在数据关系确实为线性时，线性插值才准确。若数据呈曲线（如指数增长），线性插值会有误差。此时应采用多项式或样条插值。

注意事项

  • 用9点和10点的数据估算11点的值属于外推，不是插值。
  • 用线性插值预测火箭轨迹（曲线）会导致不准确。

数学推导与公式

  • 理解斜截式。
  • 逐步推导插值公式。
  • 详细计算示例。
线性插值公式源自直线方程。
公式
经典公式为：y = y₁ + (x - x₁) * (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。该公式计算x与x₁的水平距离占总距离的比例，并将该比例应用于y的变化量，最后加到y₁上。
计算示例

已知点 (2, 5) 和 (4, 9)，求x=3时的y。 x₁=2, y₁=5 x₂=4, y₂=9 x=3

y = 5 + (3 - 2) (9 - 5) / (4 - 2) y = 5 + (1) (4) / (2) y = 5 + 4 / 2 y = 5 + 2 y = 7

数学原理

  • (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 是直线的斜率。
  • (x - x₁) 是从第一个点到目标点的水平距离。