星形计算器

确定正则星形多边形的属性。

在下方输入星形参数，计算其面积、周长和内角。

实用示例

点击示例将数据加载到计算器中。

经典五角星（五芒星）

经典五角星（五芒星）

标准五芒星，常见于旗帜和符号中。

点数 (n): 5

外半径 (R): 10

内半径 (r): 3.8

六角星（六芒星）

六角星（六芒星）

六芒星，也称为大卫之星。

点数 (n): 6

外半径 (R): 10

内半径 (r): 5.8

尖锐七角星

尖锐七角星

内半径较小的七芒星，形成尖锐的角。

点数 (n): 7

外半径 (R): 12

内半径 (r): 4

丰满八角星

丰满八角星

内半径较大的八芒星，看起来更饱满。

点数 (n): 8

外半径 (R): 10

内半径 (r): 7

其他标题
星形计算器详解：全面指南
深入了解星形多边形的几何、属性及其计算方法。

什么是星形多边形？

  • 星形多边形的定义
  • 关键参数：点数与半径
  • 形状可视化
星形多边形是一种非凸多边形。正则星形多边形通过连接正n边形的顶点而成。其形状由点数(n)、外半径(R)（连接星形尖端）和内半径(r)（连接星形凹点）定义。
关键参数
点数(n)：决定星形的基本形状（如n=5为五芒星）。有效星形n需大于等于5。外半径(R)：中心到任一外部尖端的距离。内半径(r)：中心到任一内顶点的距离。有效星形需r小于R。

常见星形类型

  • 五芒星（5点）
  • 六芒星（6点）
  • 七芒星（7点）

计算器使用步骤详解

  • 输入点数
  • 定义半径
  • 解读结果
使用星形计算器非常简单。按照以下步骤即可获得星形的几何属性。
1. 输入点数(n)
输入所需的星形点数。必须为整数且不少于5。
2. 输入外半径和内半径(R和r)
输入外半径和内半径的长度。两者都必须为正数，且内半径(r)必须小于外半径(R)。
3. 计算并分析
点击“计算”按钮，工具会立即给出星形的总面积、周长及每个点的角度。

输入示例

  • n=5, R=10, r=4
  • n=8, R=20, r=15

计算背后的数学公式

  • 面积计算
  • 周长计算
  • 内角计算
计算器使用标准几何公式，根据半径和点数计算正则星形多边形的属性。
面积公式
星形面积可视为2n个三角形的总和，每个三角形的顶点分别在中心、外点和相邻内点。公式为：面积 = n × R × r × sin(π / n)。
周长公式
周长为星形外边界的总长度，由2n条相等的线段组成，连接内外顶点。单条线段长度用余弦定理计算：l = √(R² + r² - 2Rr cos(π/n))。总周长为2n × l。
内角公式
每个外点的角度同样用余弦定理计算，三角形由一个外点和其相邻两个内点组成。角度(α)公式为：α = arccos(1 - (2r sin(π/n))² / (2l²))，其中l为线段长度。

公式参数说明

  • n = 点数
  • R = 外半径
  • r = 内半径

星形的实际应用

  • 符号与旗帜学
  • 艺术与设计
  • 建筑与装饰
星形多边形不仅是抽象的几何图形，在人类文化和设计中也广泛存在。
旗帜与符号
最常见的应用是在旗帜学中。国旗上的星星通常代表州、团结或指导原则。五芒星和六芒星在不同文化和信仰体系中都是强有力的象征。
设计与建筑
在平面设计中，星形用于吸引注意、评分或增添节日气氛。在建筑中，星形图案常见于窗户设计（玫瑰窗）、地板拼花和装饰元素，尤其是在历史和宗教建筑中。

应用领域

  • 国旗（如美国、澳大利亚等）
  • 公司标志
  • 节日装饰

常见问题解答 (FAQ)

  • 星形多边形与星形状多边形有何区别？
  • 为什么星形至少需要5个点？
  • 什么是“黄金比例”五芒星？
星形可以有4个点吗？
从几何上讲，四角星通常只是两条相交的直线或两个二边形的复合体，并不像星形多边形那样形成连续边界。因此，本计算器要求点数不少于5才能定义有效的星形多边形。
什么是“黄金比例”五芒星？
一种特殊的五芒星，其外半径与线段长度的比值为黄金比例（φ ≈ 1.618）。这种形状极具和谐美感，在艺术和自然界中常见。当内外半径之比（r/R）约为0.382时，即为黄金比例五芒星。