分段公式计算器 | 查找定向线段上的点

什么是定向线段的分段公式？

定向线段的核心概念
分段公式详解
内分与外分

定向线段是具有特定方向的线段，即有明确的起点和终点，顺序非常重要。分段公式是坐标几何中的基本概念，可用于查找以特定比例分割定向线段的点的坐标。

公式

已知起点A(x₁, y₁)和终点B(x₂, y₂)，分割点P(x, y)将线段AB按m:n比例分割，其坐标为：P(x, y) = ( (nx₁ + mx₂)/(m+n), (ny₁ + my₂)/(m+n) )。本计算器即基于此公式。

分割类型

若比例m:n均为正，P点位于A、B之间，称为内分。若比例一项为负（如m:-n或-n:m），P点位于线段延长线上，称为外分。本计算器可自动处理两种情况。

几何示例

查找以2:1比例分割线段的点
用于计算机图形学中的插值
通过中线交点确定三角形重心
向量加减法应用

定向线段比例计算器使用步骤详解

输入坐标与比例
解读结果
使用重置与示例功能

输入数据

首先输入两个点的坐标。第一个点A(x₁, y₁)为定向线段起点，第二个点B(x₂, y₂)为终点。然后输入比例的两部分'm'和'n'。提示信息可帮助理解每个字段的含义。

计算与结果

输入所有数值后，点击“计算点坐标”按钮。计算器会立即应用分段公式并显示结果点P(x, y)的坐标。可通过复制按钮轻松复制坐标。

实用功能

如需重新开始，可点击“重置”按钮清空所有字段。通过“实用示例”部分加载预设场景，更好地理解不同输入对结果的影响。

分段公式的实际应用

计算机图形与动画
物理与工程
地理与测量

计算机图形学

在计算机图形学中，分段公式用于确定动画中间点、创建渐变、计算路径上对象的位置。

物理与力学

工程师和物理学家用它来查找质心或分布力的合力。

地理信息与测量

地理学家和测量员用它来确定地图上两已知点间按比例距离的位置。

常见误区与正确方法

忽略线段的定向性质
混淆比例部分(m和n)
混淆外分与内分

点的顺序

常见错误是忽略A到B与B到A的定向不同。必须正确输入起点和终点，否则结果会不同。

比例顺序

比例m:n与点相关。公式中m对应第二个点(B)，n对应第一个点(A)。交换m和n会得到不同的点，即n:m的正确答案。

处理外分

外分通过将m或n设为负值实现。例如3:-2表示P点在AB延长线B侧。忘记负号会导致错误的内分计算。

数学推导与示例

利用相似三角形推导
向量法推导
详细算例

几何推导

分段公式可通过以A、B、P为顶点作两相似直角三角形，并作坐标轴平行线推导。相似三角形对应边的比例给出P的坐标。

向量法

用向量表示，P点的位置向量为A、B两点向量的线性组合。若P将AB按m:n分割，则P的向量为p = (na + mb) / (m + n)，其中a、b分别为A、B的向量。

详细算例

内分 (2:3 比例)：A(1, 1) 和 B(6, 6)，P = ((3*1 + 2*6)/(2+3), (3*1 + 2*6)/(2+3)) = (15/5, 15/5) = (3, 3)。
外分 (3:-1 比例)：A(2, 3) 和 B(5, 6)，P = ((-1*2 + 3*5)/(3-1), (-1*3 + 3*6)/(3-1)) = (13/2, 15/2) = (6.5, 7.5)。

简单内分

查找中点

负比例的外分