圆方程的数学基础源自圆的定义和坐标几何中的距离公式，深入揭示了代数与几何的关系：
基本推导：
圆定义为所有到圆心 (h, k) 距离为 r 的点 (x, y)。利用距离公式：√[(x - h)² + (y - k)²] = r。两边平方得标准式：(x - h)² + (y - k)² = r²。
一般式变换：
展开标准式：x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²。整理得：x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0。由此得一般式系数：D = -2h，E = -2k，F = h² + k² - r²。
逆向推导：
从一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 可得圆心为 (-D/2, -E/2)，半径为 √[(D² + E² - 4F)/4]，前提是该表达式为正（保证是真实圆）。
高级扩展：
圆方程可扩展为参数式（x = h + r cos θ, y = k + r sin θ）、极坐标、复分析（|z - z₀| = r）及微分几何中的曲率分析。它们在微积分中用于计算面积、弧长和旋转体体积。