理解弧长公式的数学基础，有助于深入掌握其在不同曲线和坐标系下的应用与局限。
参数方程弧长推导：
从微分弧长元 ds = √[(dx)² + (dy)²] 出发，将 dx, dy 表为参数的函数：dx = (dx/dt)dt, dy = (dy/dt)dt。
代入得：ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²]dt。对参数区间[a,b]积分得总弧长：L = ∫[a 到 b] √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt。
极坐标变换：
极坐标下，x = r·cos(θ), y = r·sin(θ)。求导得：dx/dθ = (dr/dθ)cos(θ) - r·sin(θ), dy/dθ = (dr/dθ)sin(θ) + r·cos(θ)。
代数化简后：(dx/dθ)² + (dy/dθ)² = (dr/dθ)² + r²。得极坐标弧长公式：L = ∫[α 到 β] √[r² + (dr/dθ)²] dθ。
高级示例：
- 椭圆：完整椭圆（半轴a, b）涉及椭圆积分，需用数值方法精确计算。
- 摆线：参数曲线 x = r(t - sin(t)), y = r(1 - cos(t))，一个完整拱弧长为8r。
- 对数螺线：r = ae^(bθ) 弧长为 (a/b)√(1 + b²)[e^(bθ₂) - e^(bθ₁)]，可得解析解。
数值积分方法：
解析积分困难时，可用辛普森法、Gauss求积或自适应算法高精度近似。