圆弦面积计算器

使用不同参数计算圆弦的面积。根据所选方法填写所需字段。

该工具帮助您计算圆的一段弦所围成的面积。您可以通过半径和圆心角，或半径和弦长来计算。

实用示例

通过这些示例了解计算器在不同输入下的工作方式。

示例1：已知半径和角度（度）

已知半径和圆心角

计算半径为10，圆心角为90度的圆弦面积。

半径: 10

角度: 90 度

示例2：已知半径和角度（弧度）

已知半径和圆心角

计算半径为5，圆心角为π/2弧度（约1.5708）的圆弦面积。

半径: 5

角度: 1.5708 弧度

示例3：已知半径和弦长

已知半径和弦长

计算半径为8，弦长为12的圆弦面积。

半径: 8

弦长: 12

示例4：大角度弦（优弦）

已知半径和圆心角

计算半径为12，圆心角为270度的优弦面积。

半径: 12

角度: 270 度

其他标题
圆弦面积计算器详解：全面指南
深入了解圆弦面积的计算原理，从基础定义到高级公式及实际应用。

什么是圆弦？

  • 几何定义
  • 弦的关键组成部分
  • 优弦与劣弦
圆弦是由一条直线（弦）将圆的一部分“切割”出来形成的区域。想象一下不是从圆心切披萨，而是直接横切，较小的那一块就是圆弦。该区域由弦和圆弧围成。
几何定义
要精确定义圆弦，需要知道圆的属性，尤其是半径。圆弦本身可由弦长或所对的圆心角来确定。
弦的关键组成部分
• 弦 (c)： 连接圆上两点的直线，构成圆弦的底边。
• 圆弧： 构成圆弦上边界的圆周部分。
• 半径 (R)： 圆的半径。
• 圆心角 (θ)： 由两条半径与弦的端点形成的角。
• 高 (h)： 从弦中点到圆弧的垂直距离，也称箭高。
优弦与劣弦
一条弦将圆分为两段。较小的为劣弦，较大的为优弦。劣弦对应的圆心角小于180°（π弧度），优弦则大于180°。

圆弦可视化

  • 带有平底窗台的圆形窗户是典型的圆弦实例。
  • 部分充满液体的水平管道横截面包含一个圆弦区域。

计算器使用步骤详解

  • 选择计算方法
  • 输入参数
  • 解读结果
我们的计算器操作简便，只需几步即可得出结果。
选择计算方法
首先在下拉菜单中选择计算方法，有两种选项：
• 已知半径和圆心角： 适用于已知圆的半径和对应弦的圆心角（度或弧度）。
• 已知半径和弦长： 适用于已知半径和弦长。
输入参数
选择方法后，所需参数的输入框会出现。请在指定位置输入数值。工具内置校验，确保数值合理（如弦长不能大于直径）。
解读结果
点击“计算”后，工具会立即显示结果，包括弦面积、弧长以及（如适用）弦长。这些结果对于工程或设计计算非常有用。

计算场景

  • 设计拱形门时，已知拱的半径和门的宽度（弦长）。
  • 物理题中，已知摆长（半径）和摆动角度，求扫过的面积。

关键公式与数学推导

  • 核心思想：扇形减三角形
  • 公式1：已知半径和圆心角
  • 公式2：已知半径和弦长
圆弦面积的计算方法是先求出对应圆心角的扇形面积，再减去由两条半径和弦组成的等腰三角形面积。
核心思想：扇形减三角形
弦面积 = 扇形面积 - 三角形面积
公式1：已知半径和圆心角 (θ)
这是最直接的方法。公式如下：
• 扇形面积： A_sector = (θ / 2) * R² （θ为弧度）
• 三角形面积： A_triangle = (1/2) R² sin(θ)
• 弦面积： A_segment = (1/2) R² (θ - sin(θ))
如果角度为度，需先转换为弧度：弧度 = 度数 * (π / 180)。
公式2：已知半径和弦长 (c)
若已知弦长，需先求出圆心角θ。
• 求半角： 半径与半弦构成直角三角形，所以 sin(θ/2) = (c/2) / R。
• 求全角： θ = 2 * arcsin(c / (2R))。
• 代入主公式： 得到θ（弧度）后，代入弦面积公式：A = (1/2) R² (θ - sin(θ))。

数值示例

  • 已知R=10, c=12。先求θ = 2 * arcsin(12 / (2*10)) = 2 * arcsin(0.6) ≈ 1.287弧度。
  • 然后，面积 = 0.5 * 10² * (1.287 - sin(1.287)) = 50 * (1.287 - 0.963) ≈ 16.2平方单位。

圆弦面积的实际应用

  • 建筑与施工
  • 工程与流体力学
  • 农业与土地测量
圆弦面积的计算不仅仅是学术问题，在各领域有广泛应用。
建筑与施工
设计师和建筑师常用此计算来估算拱形窗、门、穹顶等结构的面积，有助于材料预算和结构分析。
工程与流体力学
工程师常需计算部分充满液体的水平圆柱罐的液体截面积。该面积即为圆弦面积，对罐体、管道、渠道的液位管理至关重要。
农业与土地测量
测量不规则地块（如被河流或道路弯曲边界包围）时，测量员常用圆弦近似计算面积。

应用场景

  • 计算半圆山墙所需油漆量。
  • 根据液位高度判断卧式圆罐内燃油量。

常见问题与进阶话题

  • 如果角度大于180°怎么办？
  • 弦高如何关联？
  • 局限性与精度
解答常见问题并探讨圆弦的进阶内容。
如果角度大于180°（优弦）怎么办？
这些公式同样适用于优弦。大于180°（π弧度）的角度会得到更大的弦面积。也可以先算劣弦面积，再用圆面积（A_circle = πR²）减去劣弦面积。
弦高（h）如何关联？
弦高（h）或箭高也是重要参数。虽然本计算器不以弦高为主输入，但它与半径和圆心角的关系为：R - h = R * cos(θ/2)。已知任意两个参数（R, c, h, θ）即可推导其他。
局限性与精度
计算精度取决于输入值的准确性。实际测量时请尽量精确。本工具采用浮点运算，精度足以满足大多数学术和工程需求。

进阶思考

  • 半圆时，圆心角为180°（π弧度），弦面积正好是圆面积的一半。
  • 若弦长等于直径（2R），则该段为整个圆，通常按整圆处理。