余弦定理计算器 - 求解三角形边长与角度

余弦定理是三角学中的基本定理，描述了三角形边长与其中一个角的余弦之间的关系。对于任意三角形，设三边长为a、b、c，角C对边c，则有：

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

该公式可变形用于求任意边或角，是非常实用的工具。主要适用于两种情况：已知两边及夹角（SAS）或已知三边（SSS）。

1. 求未知边（SAS）：

选择“求边长（SAS）”模式，输入两条边（如a和b）及其夹角（角C）。计算器将使用公式c² = a² + b² - 2ab cos(C)求解第三边c。

2. 求未知角（SSS）：

选择“求角度（SSS）”模式，输入三条边（a、b、c）。计算器会先验证三边能否构成三角形（满足三角不等式），然后变形公式求角，如角C：C = arccos((a² + b² - c²) / 2ab)。

余弦定理不仅是学术理论，在实际中也有广泛应用。

测量：

测量人员在无法直接测量两点距离时，可通过第三点分别测量到两点的距离及夹角，利用余弦定理求解未知距离。

导航：

飞行员和水手在处理向量、风/流影响时，常用余弦定理确定目的地距离和方位。

正弦定理的多解性：

与正弦定理不同，余弦定理没有“多解”问题。用SSS情况求角时，arccos函数总返回0°到180°之间唯一的角，能正确区分锐角和钝角。

单位：

请确保所有边长单位一致。计算器假定角度输入和输出均为度。

余弦定理可通过将三角形放置在直角坐标系中推导。设C点在原点(0,0)，边b在x轴上，A点坐标为(b,0)，B点坐标为(a cosC, a sinC)。

边c为A、B两点间距离。用距离公式得：c² = (a cosC - b)² + (a sinC - 0)²。展开并利用sin²C + cos²C = 1，最终得到余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC。