张量积计算器 - 免费在线向量张量积工具

什么是张量积？

定义与基本概念
数学符号
张量积的性质

张量积（又称外积）是线性代数中的基本运算，可通过两个向量生成新的向量或矩阵。对于向量u和v，张量积u ⊗ v生成一个矩阵，每个元素是两个向量对应元素的乘积。

数学定义

给定两个向量u = [u₁, u₂, ..., uₘ]和v = [v₁, v₂, ..., vₙ]，它们的张量积u ⊗ v是一个m × n的矩阵，第(i,j)个元素为uᵢ × vⱼ。对于矩阵，这一操作也称为克罗内克积。

主要性质

张量积具有多项重要性质：双线性、可结合（可扩展到多个向量）、对加法分配。但它不是交换的，即一般情况下u ⊗ v ≠ v ⊗ u。

基础张量积示例

u = [1, 2], v = [3, 4]，u ⊗ v = [[3, 4], [6, 8]]
u = [1, 0], v = [0, 1]，u ⊗ v = [[0, 1], [0, 0]]

张量积计算器使用分步指南

输入准备
计算过程
结果解读

我们的张量积计算器操作简单，适合初学者和进阶用户。支持多种格式输入向量，并提供清晰详细的结果。

输入准备

请输入以逗号或空格分隔的数字。例如，三维向量可输入'1, 2, 3'或'1 2 3'。计算器会自动解析并校验输入。

结果解读

计算器提供两种结果格式：矩阵格式（显示完整张量积矩阵）和扁平化向量格式（所有元素一行显示）。可根据需要选择。

分步计算示例

输入：u = [2, 3], v = [1, 4] → 结果：[[2, 8], [3, 12]]
输入：u = [1, 0, 1], v = [2, 1] → 结果：[[2, 1], [0, 0], [2, 1]]

张量积的实际应用

量子力学
机器学习
信号处理

张量积在科学和工程领域有广泛应用。了解这些应用有助于理解其重要性。

量子力学

在量子力学中，张量积用于描述复合量子系统。两个系统结合时，其状态空间为各自状态空间的张量积。这是理解纠缠和量子计算的基础。

机器学习与数据科学

张量积在机器学习中用于特征扩展、核方法和神经网络结构。可构建高维特征空间，捕捉复杂数据关系。

信号处理

在信号处理领域，张量积用于多维信号分析、图像处理和可分离滤波器的构建。可高效处理多维数据。

应用示例

量子态：|ψ⟩ = |0⟩ ⊗ |1⟩ 表示双量子比特系统
特征扩展：φ(x) = x ⊗ x 生成二次特征
图像滤波：高斯模糊 = Gₓ ⊗ Gᵧ（可分离滤波器）

常见误区与正确方法

张量积与点积
维度注意事项
常见计算错误

许多学生容易将张量积与其他向量运算混淆。理解差异对于正确应用至关重要。

张量积与点积

张量积将两个向量生成一个矩阵，而点积生成一个标量。张量积保留了两个向量的全部信息，而点积将其简化为一个表示相似性的数值。

维度处理

常见误区是认为张量积要求向量维度相同。实际上，维度可不同，结果为m×n矩阵，m和n分别为输入向量的维度。

顺序相关

与点积不同，张量积不满足交换律。u ⊗ v与v ⊗ u结果不同。第一个向量决定行，第二个决定列。

常见错误示例

u·v = 标量（点积） vs u ⊗ v = 矩阵（张量积）
u = [1, 2], v = [3, 4, 5] → u ⊗ v为2×3矩阵，v ⊗ u为3×2矩阵

数学推导与示例

形式定义
计算算法
进阶示例

张量积的数学基础不仅限于简单向量运算，还包括更广泛的代数结构和计算方法。

形式数学定义

对于u ∈ ℝᵐ, v ∈ ℝⁿ，张量积u ⊗ v ∈ ℝᵐˣⁿ，定义为(u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ，i ∈ {1,...,m}，j ∈ {1,...,n}。该定义可自然扩展到高阶张量和更复杂的代数结构。

计算复杂度

张量积计算的时间复杂度为O(mn)，m和n为输入向量的维度。对于大多数实际应用来说效率很高。

与克罗内克积的关系

向量的张量积与矩阵的克罗内克积密切相关。将向量视为列矩阵时，u ⊗ v等于u与vᵀ的克罗内克积。

数学示例

u = [a, b], v = [c, d] → u ⊗ v = [[ac, ad], [bc, bd]]
u = [1, 2, 3], v = [4, 5] → u ⊗ v = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]]
单位向量eᵢ ⊗ eⱼ，结果为(i,j)位置为1，其余为0的矩阵

基础二维向量

三维与二维向量

单位向量

量子态向量