正弦定理计算器

使用正弦法则求解三角形未知边和角。请选择你已知的数值组合。

输入你已知的三角形数值，计算未知属性。

实用示例

加载示例，了解计算器在不同输入下的用法。

AAS（角-角-边）

AAS（角-角-边）

已知两个角和一个非夹边。

ASA（角-边-角）

ASA（角-边-角）

已知两个角和夹边。

SSA（唯一解）

SSA（唯一解）

已知两边和一个非夹角，仅有一个三角形。

SSA（两组解）

SSA（两组解）

不定解情形，可构成两个不同的三角形。

其他标题
理解正弦定理：全面指南
掌握正弦法则，解决三角形问题，包括SSA不定解。

什么是正弦定理？

  • 核心公式及其含义
  • 何时使用正弦定理与余弦定理
  • 边与其对角的关系
正弦定理是三角学中的基本定理，描述了三角形各边长度与其对角正弦值之间的关系。对于任意三角形，边a、b、c及其对角A、B、C，有：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
这个优美的比例意味着，只要已知某些边和角的组合，就可以求解三角形的未知部分。通常用于已知一组角-边对的情形。
适用场景
正弦定理适用于：1. 已知两个角和任意一边（AAS或ASA）；2. 已知两边和一个非夹角（SSA），即不定解情形。

主要应用

  • AAS：已知角A、角B和边a。
  • ASA：已知角A、边c和角B。

计算器使用步骤详解

  • 选择正确的配置（ASA、AAS、SSA）
  • 正确输入已知数值
  • 解读结果，包括面积和周长
我们的计算器让过程更简单。使用方法如下：
1. 选择配置
首先从下拉菜单选择你已知的数值组合：ASA（角-边-角）、AAS（角-角-边）或SSA（边-边-角）。输入框会根据选择自动变化。
2. 输入已知数值
在对应输入框填写三角形的已知参数。角度请用度数。计算器至少需要三个输入才能求解。
3. 计算并查看结果
点击“计算”按钮查看解答。结果会显示未知边和角，以及三角形的周长和面积。对于SSA情形，系统会自动判断是否存在一组或两组解。

使用场景

  • ASA：已知角A=30°，边c=10，角B=70°，可求角C、边a和边b。
  • SSA：已知边a=7，边b=9，角A=45°，计算器会判断能否构成三角形。

正弦定理的实际应用

  • 测量与制图中的应用
  • 天文学和导航中的应用
  • 工程与物理中的作用
正弦定理不仅是理论知识，在实际中也有广泛应用。
测量与三角测量
测量员利用三角测量法，通过已知基线长度和两端对远点的角度，利用正弦定理计算未知距离，无需实际测量。
天文学
天文学家用视差法测量恒星距离。通过地球轨道两点观测同一恒星，利用正弦定理计算其距离。

实际领域

  • 通过两点测量角度计算山高。
  • 利用角度测量确定卫星或船只路径。

SSA不定解：深入解析

  • 为何SSA情形可能有0、1或2个三角形
  • 每种情况的数学条件
  • 计算器如何自动处理不定解
边-边-角（SSA）情形被称为“不定解”，因为所给信息可能无法唯一确定一个三角形。根据数值，可能无解、唯一解或两组解。
不定解的条件
设已知边a、b和角A。当a<b时，需比较a与高h（h=b*sin(A)）。
  • 若a<h：无解，边太短无法构成三角形。
  • 若a=h：唯一解（直角三角形）。
  • 若h<a<b：两组解。边可摆动形成两个不同三角形。
  • 若a≥b：唯一解。
我们的计算器会自动判断并给出所有有效解，无需手动计算。

SSA情形示例

  • a=5, b=10, A=30° → a = h，唯一解。
  • a=7, b=10, A=30° → h < a < b，两组解。

数学推导与公式

  • 从基本原理推导正弦定理
  • 利用正弦求三角形面积的公式
  • 与三角外接圆的关系
正弦定理可通过三角形面积或外接圆性质推导。
基于面积的推导
三角形面积有多种表达式：面积 = (1/2)absin(C) = (1/2)bcsin(A) = (1/2)ac*sin(B)。两边同除(1/2)abc，得sin(C)/c = sin(A)/a = sin(B)/b。取倒数即为正弦定理。
与外接圆的关系
正弦定理中的比例也等于三角形外接圆的直径（通过三点的唯一圆）。a/sin(A) = 2R，R为外接圆半径。

核心公式

  • 面积 = (1/2) × 边a × 边b × sin(角C)
  • a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R