准直径计算的数学基础源自圆锥曲线的基本定义及其在坐标几何中的几何属性。
抛物线推导：
标准抛物线 y² = 4px，焦点在 (p, 0)。准直径是通过该焦点的垂直弦。代入 x = p 得 y² = 4p(p) = 4p²，因此 y = ±2p，总弦长为 4p。
椭圆推导：
椭圆 x²/a² + y²/b² = 1，焦点在 (±c, 0)，c² = a² - b²。准直径通过 (c, 0) 垂直方向。代入 x = c 得 c²/a² + y²/b² = 1，解得 y² = b²(1 - c²/a²) = b²(b²/a²) = b⁴/a²，因此 y = ±b²/a，总长 2b²/a。
双曲线推导：
双曲线 x²/a² - y²/b² = 1，焦点在 (±c, 0)，c² = a² + b²。类似地，x = c 代入得 c²/a² - y²/b² = 1，解得 y² = b²(c²/a² - 1) = b²(b²/a²) = b⁴/a²，结果与椭圆相同：准直径 = 2b²/a。
离心率关系：
准直径与离心率 e 的关系：椭圆/双曲线，准直径 = a(1-e²)（椭圆）和 a(e²-1)（双曲线），提供了替代计算方法。
参数表示：
在参数形式下，准直径端点可直接表示，便于复杂几何分析和计算机图形应用。